数学問題5番

数学問題
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数学問題5番

\(e^{-x}\sin x\)のグラフ。

 

 

問題

\(y=e^{-x}\sin x\)(\(x\geq 0\))と\(x\)軸で囲まれる面積を求めよ。

 

 

解答

グラフは\(\pi\)の自然数倍の所で\(0\)になる。

\((k-1)\pi\leq x\leq k\pi\)の部分の面積を\(S_{k}\)とおく。

 

\(S_{k}=\biggl|\displaystyle\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x}\sin x dx\biggr|\)

 

\(=\biggl|\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)\biggr]_{(k-1)\pi}^{k\pi}\biggr|\)

 

積分計算

部分積分2回でもできるが以下の方法を紹介する。

\([e^{-x}\sin x]’=e^{-x}(-\sin x+\cos x)\)      ……①

\([e^{-x}\cos x]’=e^{-x}(-\cos x-\sin x)\)    ……②

 

\(①+②\) より \([e^{-x}(\sin x+\cos x)]’= -2e^{-x} \sin x\)

 

よって 

\( \displaystyle\int e^{-x}\sin x dx =-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)+C\)

 

計算続き

\(=\biggl|-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-k\pi}(-1)^{k}+\displaystyle\frac{1}{2}e^{-(k-1)\pi}(-1)^{k-1}\biggr|\)

 

\(=\biggl|\displaystyle\frac{1}{2}(-1)^{k+1}(e^{-k\pi}+e^{-(k-1)\pi})\biggr|\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(e^{-k\pi}+e^{-(k-1)\pi})\)

 

よって最終的に求める面積は

 \(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{2} (e^{-k\pi}+e^{-(k-1)\pi})\)

 

これは初項が\(\displaystyle\frac{1}{2}(e^{-\pi}+1)\)、公比が\(e^{-\pi}\)なので

 

\(S=\displaystyle\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}\)

 

\(=\displaystyle\frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}\)

 

 

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