数学問題5番
\(e^{-x}\sin x\)のグラフ。
問題
\(y=e^{-x}\sin x\)（\(x\geq 0\)）と\(x\)軸で囲まれる面積を求めよ。
解答
グラフは\(\pi\)の自然数倍の所で\(0\)になる。
\((k-1)\pi\leq x\leq k\pi\)の部分の面積を\(S_{k}\)とおく。
\(S_{k}=\biggl|\displaystyle\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x}\sin x dx\biggr|\)
\(=\biggl|\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)\biggr]_{(k-1)\pi}^{k\pi}\biggr|\)
積分計算
部分積分2回でもできるが以下の方法を紹介する。
\([e^{-x}\sin x]^{\prime}=e^{-x}(-\sin x+\cos x)\) ……①
\([e^{-x}\cos x]^{\prime}=e^{-x}(-\cos x-\sin x)\) ……②
\(①+②\) より \([e^{-x}(\sin x+\cos x)]^{\prime}= -2e^{-x} \sin x\)
よって
\( \displaystyle\int e^{-x}\sin x dx =-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)+C\)
計算続き
\(=\biggl|-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-k\pi}(-1)^{k}+\displaystyle\frac{1}{2}e^{-(k-1)\pi}(-1)^{k-1}\biggr|\)
\(=\biggl|\displaystyle\frac{1}{2}(-1)^{k+1}(e^{-k\pi}+e^{-(k-1)\pi})\biggr|\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(e^{-k\pi}+e^{-(k-1)\pi})\)
よって最終的に求める面積は
\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{2} (e^{-k\pi}+e^{-(k-1)\pi})\)
これは初項が\(\displaystyle\frac{1}{2}(e^{-\pi}+1)\)、公比が\(e^{-\pi}\)なので
\(S=\displaystyle\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}=\displaystyle\frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}\)
答え
\(\displaystyle\frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}\)
