数学問題53番

数学問題
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問題

\(n\)は3の倍数とする。

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n/3} \)\(_{n}\mathrm{C}_{3k}\)はいくらか?

 

 

解答

\(\omega^3=1\)となる\(\omega\)を導入する。以下の3つを二項展開する。

 

\((1+\omega)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}\omega+_{n}\mathrm{C}_{2}\omega^2+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n}\)

\((1+\omega^2)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}\omega^2+_{n}\mathrm{C}_{2}\omega+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n}\)

 

\((1+1)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}+_{n}\mathrm{C}_{2}+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n}\)

 

3つを足し合わせると

\((1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n+2^n=3\displaystyle\sum_{k=0}^{n/3} \)\(_{n}\mathrm{C}_{3k}\)

 

ここで

\((1+\omega)^n=(-\omega^2)^{n}=\left(-\cos\displaystyle\frac{4}{3}\pi-i\sin\displaystyle\frac{4}{3}\pi\right)^{n}=\cos\displaystyle\frac{n\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{3}\)

 

\((1+\omega^2)^n=(-\omega)^{n}=\left(-\cos\displaystyle\frac{2}{3}\pi-i\sin\displaystyle\frac{2}{3}\pi\right)^{n}=\cos\displaystyle\frac{n\pi}{3}-i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{3}\)

 

より

\(左辺=(1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n+2^n=2\cos\displaystyle\frac{n\pi}{3}+2^n\)

 

となるので答えは

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n/3}\)\( _{n}C_{3k}=\displaystyle\frac{2}{3}\cos\displaystyle\frac{n\pi}{3}+\displaystyle\frac{2^n}{3}\)

 

 

 

 

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