数学問題54番

数学問題
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問題

\(_{n}\mathrm{C}_{1}-_{n}\mathrm{C}_{3}+_{n}\mathrm{C}_{5}-_{n}\mathrm{C}_{7}+\cdots\)を求める

 

 

解答

\((1+i)^n\)を二通りで表す。

 

ド・モアブルの定理を考えると

\((1+i)^n=\sqrt{2}^n\left(\cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}+i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}\right)\)

 

二項展開すると

\((1+i)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}i-_{n}\mathrm{C}_{2}-i_{n}\mathrm{C}_{3}+\cdots\)

 

\(=(_{n}\mathrm{C}_{0}-_{n}\mathrm{C}_{2}+_{n}\mathrm{C}_{4}-\cdots)+i(_{n}\mathrm{C}_{1}-_{n}\mathrm{C}_{3}+_{n}\mathrm{C}_{5}+\cdots)\)

 

虚部を比較すると

\(_{n}\mathrm{C}_{1}-_{n}\mathrm{C}_{3}+_{n}\mathrm{C}_{5}+\cdots=\sqrt{2}^n \sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}\)

 

※実部を比較すると以下が得られる。

\(_{n}\mathrm{C}_{0}-_{n}\mathrm{C}_{2}+_{n}\mathrm{C}_{4}+\cdots=\sqrt{2}^n \cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}\)

 

 

 

 

 

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