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数学問題6番
思考
問題の漸化式を隣接五項間漸化式と捉えて計算しても答えは出ます。が、とても大変です。
今回は以下に示す変形を行います。気付けなければ、上の方法でゴリ押しです笑
計算
変形
問題の漸化式は
\(a_{n+4}-a_{n+3}-6a_{n+2}=a_{n+2}-a_{n+1}-6a_{n}\)
と変形できる。
\(a_{n+2}-a_{n+1}-6a_{n}=c_{n}\) \(\cdots\) ① とおくと
\(c_{n+2}=c_{n}\) となり
\(c_{1}=a_{3}-a_{2}-6a_{1}=5\)
\(c_{2}=a_{4}-a_{3}-6a_{2}=-5\)
つまり
\(n\)が奇数。 \(\cdots\) \(c_{n}=c_{n-2}=c_{n-4}=\cdots =c_{1}=5\)
\(n\)が偶数。 \(\cdots\) \(c_{n}=c_{n-2}=c_{n-4}=\cdots =c_{2}=-5\)
これを一式にまとめると \(c_{n}=-5(-1)^n\) となる。①に代入すると
\(a_{n+2}-a_{n+1}-6a_{n}=-5(-1)^n\)
となるので、この漸化式を解いていく。
三項間漸化式
上の式は次の二式に変形できる。
① \(a_{n+2}+2a_{n+1}=3(a_{n+1}+2a_{n})-5(-1)^n\)
② \(a_{n+2}-3a_{n+1}=-2(a_{n+1}-3a_{n})-5(-1)^n\)
①の漸化式
\(b_{n}=a_{n+1}+2a_{n}\) とおくと \(\displaystyle\frac{b_{n+1}}{(-1)^{n+1}}=-3\displaystyle\frac{b_{n}}{(-1)^n}+5\)
ここで \( x_{n}=\displaystyle\frac{b_{n}}{(-1)^n}\) とおく。 \(x_{n+1}=-3x_{n}+5\) となり、変形すると
\(x_{n+1}-\displaystyle\frac{5}{4}=-3\biggl(x_{n}-\displaystyle\frac{5}{4}\biggr)\)
\(x_{1}=\displaystyle\frac{b_{1}}{-1}=1\) であるので
\(x_{n}-\displaystyle\frac{5}{4}=-\displaystyle\frac{1}{4}(-3)^{n-1}\)
\(\displaystyle\frac{b_{n}}{(-1)^n}=\displaystyle\frac{5}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}(-3)^{n-1}\)
\(b_{n}=\displaystyle\frac{5}{4}(-1)^n+\displaystyle\frac{1}{4}(3)^{n-1}\)
②の漸化式
\(d_{n}=a_{n+1}-3a_{n}\) とおくと \(\displaystyle\frac{d_{n+1}}{(-1)^{n+1}}=2\displaystyle\frac{d_{n}}{(-1)^n}+5\)
ここで \( y_{n}=\displaystyle\frac{d_{n}}{(-1)^n}\) とおく。 \(y_{n+1}=2y_{n}+5\) となり、変形すると
\(y_{n+1}+5=2(y_{n}+5)\)
\(y_{1}=\displaystyle\frac{d_{1}}{-1}=-4\) であるので
\(y_{n}+5=2^{n-1}\)
\(\displaystyle\frac{d_{n}}{(-1)^n}=2^{n-1}-5\)
\(d_{n}=-(-2)^{n-1}-5(-1)^n\)
\(a_{n}\)
\(a_{n+1}+2a_{n}=\displaystyle\frac{5}{4}(-1)^n+\displaystyle\frac{1}{4}(3)^{n-1}\) \(\cdots\) ①より
\(a_{n+1}-3a_{n}=-(-2)^{n-1}-5(-1)^n\) \(\cdots\) ②より
上から下を引き、整理すると答えとなります。
答え
\(a_{n}=\displaystyle\frac{25(-1)^n+3^{n-1}+(-2)^{n+1}}{20}\)
