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数学問題6番
計算
変形
問題の漸化式は
\(a_{n+4}-a_{n+3}-6a_{n+2}=a_{n+2}-a_{n+1}-6a_{n}\)
と変形できる。
\(a_{n+2}-a_{n+1}-6a_{n}=c_{n}\) \(\cdots\) ① とおくと
\(c_{n+2}=c_{n}\) となり
\(c_{1}=a_{3}-a_{2}-6a_{1}=5\)
\(c_{2}=a_{4}-a_{3}-6a_{2}=-5\)
つまり
\(n\)が奇数。 \(\cdots\) \(c_{n}=c_{n-2}=c_{n-4}=\cdots =c_{1}=5\)
\(n\)が偶数。 \(\cdots\) \(c_{n}=c_{n-2}=c_{n-4}=\cdots =c_{2}=-5\)
これを一式にまとめると \(c_{n}=-5(-1)^n\) となる。①に代入すると
\(a_{n+2}-a_{n+1}-6a_{n}=-5(-1)^n\)
となるので、この漸化式を解いていく。
三項間漸化式
上の式は次の二式に変形できる。
① \(a_{n+2}+2a_{n+1}=3(a_{n+1}+2a_{n})-5(-1)^n\)
② \(a_{n+2}-3a_{n+1}=-2(a_{n+1}-3a_{n})-5(-1)^n\)
①の漸化式
\(b_{n}=a_{n+1}+2a_{n}\) とおくと \(\displaystyle\frac{b_{n+1}}{(-1)^{n+1}}=-3\displaystyle\frac{b_{n}}{(-1)^n}+5\)
ここで \( x_{n}=\displaystyle\frac{b_{n}}{(-1)^n}\) とおく。 \(x_{n+1}=-3x_{n}+5\) となり、変形すると
\(x_{n+1}-\displaystyle\frac{5}{4}=-3\biggl(x_{n}-\displaystyle\frac{5}{4}\biggr)\)
\(x_{1}=\displaystyle\frac{b_{1}}{-1}=1\) であるので
\(x_{n}-\displaystyle\frac{5}{4}=-\displaystyle\frac{1}{4}(-3)^{n-1}\)
\(\displaystyle\frac{b_{n}}{(-1)^n}=\displaystyle\frac{5}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}(-3)^{n-1}\)
\(b_{n}=\displaystyle\frac{5}{4}(-1)^n+\displaystyle\frac{1}{4}(3)^{n-1}\)
②の漸化式
\(d_{n}=a_{n+1}-3a_{n}\) とおくと \(\displaystyle\frac{d_{n+1}}{(-1)^{n+1}}=2\displaystyle\frac{d_{n}}{(-1)^n}+5\)
ここで \( y_{n}=\displaystyle\frac{d_{n}}{(-1)^n}\) とおく。 \(y_{n+1}=2y_{n}+5\) となり、変形すると
\(y_{n+1}+5=2(y_{n}+5)\)
\(y_{1}=\displaystyle\frac{d_{1}}{-1}=-4\) であるので
\(y_{n}+5=2^{n-1}\)
\(\displaystyle\frac{d_{n}}{(-1)^n}=2^{n-1}-5\)
\(d_{n}=-(-2)^{n-1}-5(-1)^n\)
\(a_{n}\)
\(a_{n+1}+2a_{n}=\displaystyle\frac{5}{4}(-1)^n+\displaystyle\frac{1}{4}(3)^{n-1}\) \(\cdots\) ①より
\(a_{n+1}-3a_{n}=-(-2)^{n-1}-5(-1)^n\) \(\cdots\) ②より
上から下を引き、整理すると答えとなります。
答え
\(a_{n}=\displaystyle\frac{25(-1)^n+3^{n-1}+(-2)^{n+1}}{20}\)
