数学問題8番
計算
\( I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{m^4+m^2n^2}\)
とおく。
\(m\)と\(n\)を入れ替えても値は同じなので
\( I=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^4+m^2n^2}=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^4+m^2n^2}\)
※今回、シグマがそれぞれ独立で（片方のシグマがもう一方に影響しないので）シグマの入れ替えが出来ます。
これら二つを足し合わせると
\(2I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{1}{m^2(m^2+n^2)}+\displaystyle\frac{1}{n^2(m^2+n^2)}\biggr)\)
\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{m^2+n^2}{m^2 n^2(m^2+n^2)}\)
\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{m^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}\)
\(=\displaystyle\frac{\pi^4}{36}\)
答え
\(=\displaystyle\frac{\pi^4}{72}\)
