[mathjax]
数学問題9番
問題
思考
問題の式が割り算できることに注目します。
あとは、割り切れるということは因数に持っているという考えで解きます。
計算
式を変形します。
\(\displaystyle\frac{x^6-1}{x-1}=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)
これは因数分解できます。（（x+1）を因数に持つ。）
\(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^4+x^2+1)\)
\(32\)の倍数になる場合
\(x^4+x^2+1=x^2(x^2+1)+1\) なので奇数である。
※\(x^2\)と\(x^2+1\)は連続する整数なのでその積は必ず偶数。
つまり、\((x+1)\) が\(32=2^5\)の倍数であることが条件。
これを満たすのは \( x=31,63,95\)
100の倍数になる場合
\(100=5^2\times 2^2\) である。上より、\(x^4+x^2+1\) は奇数。
また、\(x^4+x^2+1\)は mod5 を考えると
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(x^4+x^2+1\) | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 |
より、5の倍数とはなりえない。
よって \( x+1\) が100の倍数であることが条件。
答えは \(x=99\)
答え
まとめると
\(32\)の倍数になるのは \( x=31,63,95\)
\(100\)の倍数になるのは \( x=99\)
