数学問題一覧

数学問題

2020.02.15

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数学問題

数学問題のトップページです。

難易度表示はこのサイトの問題内での相対的レベルです。１（易）⇔10（難）

難易度は主観要素も大きいので、目安程度にお願いします。

1番

5

数学問題1番

数学問題1番問題下準備まず準備として　\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\) を解く。 ↓ちなみにこの問題です。和積公式を利用して変形...

2番

2

数学問題2番

数学問題2番問題思考類題を解いたことがあれば簡単な問題ですが、初見だと見当もつかないかもしれません。この手の類題は分数形に限りません。無限に続く部分からうまく同じ形のものを取り出して置き換えます。計算\(...

3番

有名問題、2

数学問題3番

数学問題3番問題思考2番の問題と似ています。考えはほぼ同じです。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算\(\sqrt{...

4番

8

数学問題4番

数学問題4番問題思考カッコ内の変形が出来ればあとは計算するだけです。最初の変形は分母の因数からの発想です。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push...

5番

7

数学問題5番

数学問題5番\(e^{-x}\sin x\)のグラフ。問題\(y=e^{-x}\sin x\)（\(x\geq 0\)）と\(x\)軸で囲まれる面積を求めよ。 (adsbygoogle = windo...

6番

8

数学問題6番

数学問題6番思考問題の漸化式を隣接五項間漸化式と捉えて計算しても答えは出ます。が、とても大変です。今回は以下に示す変形を行います。気付けなければ、上の方法でゴリ押しです笑 (adsbygoogle ...

7番

4

数学問題7番

数学問題7番思考不等式の問題になります。今回はコーシーシュワルツの不等式を使います。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計...

8番

9

数学問題8番

数学問題8番思考対称性を利用します。（シグマの変数が独立なので） (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算\( I=\dis...

9番

5

数学問題9番

数学問題9番問題思考問題の式が割り算できることに注目します。あとは、割り切れるということは因数に持っているという考えで解きます。計算式を変形します。 \(\displaystyle\frac{x^6-1}{...

10番

4

数学問題10番

数学問題10番問題思考入試問題でも類題が結構出ています。左辺を因数分解して考えていきます。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); ...

11番

7

数学問題11番

数学問題11番問題思考シグマのままでは考えも浮かんでこないので具体的に書き下してみます。そして、相加相乗の関係式を使います。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle |...

12番

7

数学問題12番

数学問題12番問題思考因数定理を使ってもうまくいきません。よって、カルダノの公式の考えで解きます。（\(x^2\)の項がないので少し楽） (adsbygoogle = window.adsbygo...

13番

有名問題、３

数学問題13番

数学問題13番思考典型的な問題です。不等式による絞り込みを使って考えていきます。（候補を絞っていく。）計算絞り込み\(a\leq b\leq c\)より次の不等式が成立。 \(1=\displaystyl...

14番

1

数学問題14番

数学問題14番問題思考定番問題です。三角関数を利用します。突然だなと感じるかもしれませんが、\(x^2+4y^2=4\) が楕円だ（数3で習う）というところから発想します。よくある問題なので、特に何も思わず置き換えて...

15番

4

数学問題15番

数学問題15番問題思考推移していく、及び\(n\) 秒後について聞いているので確率漸化式です。普通に計算してみようとしても、ここまで複雑では厳しいでしょう。B、C、Dにいる確率は対称性より等しいこと、A～Dにいる確...

16番

9

数学問題16番

数学問題16番問題思考\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}=e\)（\(e^x\) のテイラー展開の\(x=1\)）を利用する、できるよう...

17番

9

数学問題17番

数学問題17番問題前提条件 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}=1\) 及び \(\displaystyle\lim_{x...

18番

5

数学問題18番

数学問題18番問題思考分母が因数分解できるので、とりあえず因数分解する。あとは計算していきます。計算思考に書いたようにまずは分母を因数分解します。 \(\displaystyle\sum_{k=3}^{\i...

19番

8

数学問題19番

数学問題19番問題思考具体的に展開します。\(e\)の式を使います。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算\...

20番

6

数学問題20番

数学問題20番問題計算\(a_{n+4}+5a_{n+2}+6a_{n}=0\) を二通りに変形します。 \(a_{n+4}+3a_{n+2}=-2(a_{n+2}+3a_{n})\)\(a_{n+4}+2a_...

21番

6

数学問題21番

数学問題21番問題思考等比の形を作るために少し強引に変形します。\(f(n+1)=mf(n)\) という形にすることで解けるためです。まず、変形した形を未知数を置きつつ仮定する。※未知数の文字は何でも大丈夫です。...

22番

5

数学問題22番

数学問題22番問題思考\(n\)回の試行に関する確率なので漸化式を用います。対称性も利用します。この問題は方針自体は立てやすいと思われます。 (adsbygoogle = window.adsb...

23番

5

数学問題23番

数学問題23番問題 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 思考最大が5で最小が2というのは2～5のみが出てかつ2と5も少なく...

24番

4

数学問題24番

数学問題24番問題 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 思考余事象で考えます。つまり「6の倍数とならない確率」をはじめに求めま...

25番

3

数学問題25番

数学問題25番問題思考点（a,b）の取り方は任意なので、確率は面積比。（ビュフォンの針の時のような考え方）計算全体の面積……\(1\times 1=1\) 条件を満たす面積……\(\displaystyl...

26番

3

数学問題26番

数学問題26番問題思考\(8\theta\)とかが明らかに扱いにくい。和積公式を利用します。和積公式の適用も、うまくくくれるようなペアにします。解答今回使う和積公式は以下。\(\sin\alpha+\s...

27番

3

数学問題27番

数学問題27番問題実数の範囲だと　\(-1\leq\cos x\leq 1\)　だが、複素数では\(\cos z\geq 1\)となり得る。 (adsbygoogle = window.adsby...

28番

4

数学問題28番

数学問題28番問題 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算問題の漸化式を気合で変形すると \(a_{n+3}-3a_{n...

29番

6

数学問題29番

数学問題29番 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});問題証明問題より\(a^m+b^m=(a+b)X=2^l X\)　　\(\cdot...

30番

7

数学問題30番

数学問題30番問題 \(a=2^k-1\)　と書ける自然数とする。\(m^2=2^n+a^2\)を満たす \((m , n)\)を求めよ。\(m , n , k\)は自然数。 (adsbygoogle...

31番

3

数学問題31番

数学問題31番問題\(x^3+y^3=p^2\)　\(x,y\)は自然数、\(p\)は素数。の組を求める。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({...

32番

7

数学問題32番

数学問題32番 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});問題計算\(n^k-m^3 n+m^3=0\) \(n=1\)は解ではないので \...

33番

4

数学問題33番

数学問題33番 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});問題証明\(p\neq 3\)の素数より　\(p \equiv \pm1 (mod 3...

34番

4

数学問題34番

問題フェルマーの小定理の証明。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 証明二項展開を利用。 \(n^p=^p=(n-1)^p+\...

35番

8

数学問題35番

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});問題思考前問と同じように、コーシーシュワルツの不等式の応用を使う。計算の流れは前の問題と同じです。...

36番

6

数学問題36番

数学問題36番 ※\(d\)も正です。思考コーシーシュワルツの不等式の変形した形を利用。 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{x_{k}^2}{y_{k}...

37番

7

数学問題37番

数学問題37番思考対称式なので、\(a>b>c\)と仮定して解いてよく、チェビシェフの不等式が利用できる。\(a,b,c,n\)は正の数なので、いろいろな不等式が使える。計算解1ネスビットの不等式に...

38番

2

数学問題38番

数学問題38番思考まずは展開。あとは、正なので相加平均、相乗平均の関係。計算\(a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\) \(=a^3 b+a b^3+b^3 c+b c^3+c^3 a+c a...

39番

6

数学問題39番

数学問題39番思考コーシーシュワルツの不等式の応用形を使います。 \(\displaystyle\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\displaystyle\frac{a_{2}^2}{b_{2}}\geq ...

40番

6

数学問題40番

数学問題40番思考相加平均・相乗平均の関係の利用。\(a+b=1\)の等号をうまく使えるようにやや技巧的な変形します。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []...

41番

6

数学問題41番

数学問題41番思考因数分解します。計算\(k\geq 3\)の奇数なので\(n^k+1=(n+1)(n^{k-1}-n^{k-2}+\cdots +1)\) と変形できる。これが素数となるということは...

42番

4

数学問題42番

数学問題42番問題 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 思考整数ということは0か絶対値が1以上。という事実で絞り込みを行っていきま...

43番

2

数学問題43番

数学問題43番問題解答知っていればすぐ解けます。問題の条件より\(m=a^2+b^2\)\(n=c^2+d^2\) \(mn=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\) ...

44番

7

数学問題44番

数学問題44番問題 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算\(\displaystyle\frac{x}{p^n-x}=y\) ...

45番

有名問題

数学問題45番

数学問題45番 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 問題についてとても有名な問題です。簡単な証明を紹介します。背理法で示すやり方です...

46番

4

数学問題46番

数学問題46番問題 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算式変形\(\sqrt{x^2+x+1}=n\) （nは0以上の整数）...

47番

3

数学問題47番

数学問題47番思考対称性を崩さずに計算します。計算問題を詳しく書くと\(a^2-4b=-4\)\(b^2-4c=-4\)\(c^2-4d=-4\)\(d^2-4a=-4\)とも書ける。すべて足すと \(a...

48番

6

数学問題48番

数学問題48番思考この手の問題を見たら因数分解出来たらいいななどと考えると思います。素数という条件でもいろいろ絞れそう。今回は因数分解できます。因数定理ではできません。結果から言うと2次×2次に因数分解するためです。最初...

49番

6

数学問題49番

数学問題49番思考\(n^2<x<(n+1)^2\) となる時xは平方数にはなりえない。これを利用して求める。計算挟みこみ\(n^4+2n^3+2n^2+2n+2\)に近い平方数は \( (n...

50番

5

数学問題50番

数学問題50番思考このような整数問題では基本的に候補となる組を絞っていって答えを出します。今回は左辺を積の形にして考えます。計算変形\(a+ab+abc+abcd=363\) を次のように変形する。 \( a...

51番

7

数学問題51番

数学問題51番思考相加相乗を使います。計算左辺＝\(\displaystyle\frac{x-y}{y+z}+\displaystyle\frac{y-z}{z+x}+\displaystyle\frac{...

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