花火

物理

花火がどういう軌道を描くのかを物理で考えてみる。高さ$h$で爆発したとします。
火花の$x,y$それぞれの方向の運動方程式は

$m\dot{v_{x}}=-kmv_{x}$
$m\dot{v_{y}}=-mg-kmv_{y}$

今回の初期条件は、$x_{0}=0$,$y_{0}=h$、$v_{x}=v_{0}\cos\theta$、$v_{y}=v_{0}\sin\theta$と考えて微分方程式を解くと

$v_{x}=v_{0}\cos\theta e^{-kt}$

$v_{y}=-\displaystyle\frac{g}{k}+\left(v_{0}\sin\theta+\displaystyle\frac{g}{k}\right)e^{-kt}$

初期条件を考慮して積分すると

$x=\displaystyle\frac{v_{0}}{k}\cos\theta(1-e^{-kt})$

$y=h-\displaystyle\frac{g}{k}t+\displaystyle\frac{1}{k}\left(v_{0}\sin\theta+\displaystyle\frac{g}{k}\right)(1-e^{-kt})$

これを変形すると

$x^2+\left(y-h+\displaystyle\frac{g}{\beta}t-\displaystyle\frac{g}{\beta^2}(1-e^{-\beta t}) \right)^2=\left(\displaystyle\frac{v_{0}}{\beta}(1-e^{-\beta t})\right)^2$

となって、半径が$\displaystyle\frac{v_{0}}{\beta}(1-e^{-\beta t})$、中心が$(x,y)=(0,h-\displaystyle\frac{g}{\beta}t+\displaystyle\frac{g}{\beta^2}(1-e^{-\beta t}) )$の円軌道を描くことがわかる。（実際は球軌道ですけど）

$t\to\infty$とすると

$r= \displaystyle\frac{v_{0}}{\beta}, y=h-\displaystyle\frac{gt}{\beta}+\displaystyle\frac{vg}{\beta^2}$となり、等速落下していくことがわかります。

また、$x,y$の式から時間を消去する。$x$の式を$t$の式に変換すると

$t=-\displaystyle\frac{1}{k}\log\left(1-\displaystyle\frac{kx}{v_{0}\cos\theta}\right)$

と求まる。また、代入において、以下の対数の展開式を利用する。

$\log(1+x)=x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3}+\cdots$

$y=x\tan\theta-\displaystyle\frac{g}{v_{0}^2\cos^2\theta}\left(\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{kx^3}{3v_{0}\cos\theta}+\cdots\right)$

となることから、ひとつひとつの火花に注目してみると、近似的に放物線軌道を描いています。

化学

花火の色、炎色反応ですね、花火のエネルギーが原子中の電子を励起させて、元の軌道状態に戻るときにそのエネルギー差に相当する電磁波を出します。これが様々な色として見えているわけです。実際もっと複雑だと思いますがざっくりはこんな感じ。