[mathjax]
ラグランジュの未定乗数法
\(g(x,y)=0\)の制約の下での$f(x,y)$の最大値問題を考える。
$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$を作る。
ある点$(x_{0},y_{0})$となる点で極値を取るならば
$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=\displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$となる。①
これをラグランジュの未定乗数法という。
これによって最大値問題を解くことが出来る（ただ、解の候補が出てくるだけなので注意）。
ある点$(x_{0},y_{0})$で最大値となるならば①を満たすが、①を満たすものがすべて最大値になるわけではない（極値になるだけなので）。すなわち①を解くと解の候補が出てくるだけとなります。
例題
$x^2+2y^2-1=0$（楕円）のもとで$x+y$の最大値を考える。
今の場合、$f(x,y)=x+y$、$g(x,y)=x^2+2y^2-1$であると考えると
$L=x+y-\lambda(x^2+2y^2-1)$
$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=1-2\lambda x=0$
$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}=1-4\lambda y=0$
$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x^2+2y^2-1)=0$
これを解くと $x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}$,$y=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}$,$\lambda=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{4}$
よって最大値は$x+y=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}+\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}$
