解析力学問題2 保存量

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解析力学問題2 保存量

ネーターの定理の例題です。

 

問題

\(L=\displaystyle\frac{1}{2}m\boldsymbol{\dot x}^2-a(x^2+y^2)-mgz\)   の系の保存量を計算する。

 

解答

保存量は、\(Q=\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}F_{i}-Y\)

 

時間並進に対するもの

微小変化は、\(\delta \boldsymbol{x}=\epsilon\boldsymbol{\dot x}\)

 

\(\delta L=\displaystyle\frac{dY}{dt}\epsilon\)

 

\(F=\boldsymbol{\dot x}\)、\(Y=L\)より

 

\(E=\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\dot x}}\boldsymbol{\dot x}-L=\displaystyle\frac{1}{2}m\boldsymbol{\dot x}^2+a(x^2+y^2)+mgz\)

 

z軸空間並進に対応するもの

微小変化は、\(\delta \boldsymbol{x}=(0 , 0 , \epsilon_{z})\)

 

\(\delta L=-mg\epsilon_{z}\)

 

つまり、\(Y=-mgt\)より

 

\(P=\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot z}-(-mgt)=m\dot z+mgt\)

 

z軸回り空間回転に対応するもの

微小変化は、\(\delta \boldsymbol{x}=\epsilon (-y , x,  0)\)

 

\(\delta L=0\)

 

\(M=\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot x}(-y)+\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot y}(x)=m(x\dot y-y\dot x)\)

 

 

 

 

 

 

 

 

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