荷電粒子のラグランジアン

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荷電粒子のラグランジアン

電磁場中の荷電粒子のラグランジアンからオイラーラグランジュ方程式を解く。

 

計算

電磁場中の荷電粒子のラグランジアンは粒子の質量を\(m\)、電荷を\(q\)として以下のように書ける。

\(L=\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{x}}^2 (t)+q\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}(t))\cdot\dot{\boldsymbol{x}}(t)-q\phi(\boldsymbol{x}(t),t)\)

 

計算しやすいように添字形式に書き直す。

\(L=\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{x}_{i}^2+qA_{i}\dot{x}_{i}-q\phi\)

 

ここからオイラーラグランジュ方程式の両辺を計算していく。

\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x_{i}}=q\displaystyle\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}\dot{x}_{j}-q\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}\)

 

\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=m\dot{x}_{i}+qA_{i}\) より

 

\(\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=m\ddot{x}_{i}+q\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}\dot{x}_{j}+\displaystyle\frac{\partial A_{i}}{\partial t}\biggr)\)

 

これらをオイラーラグランジュ方程式に代入して整理すると

\(m\ddot{x}_{i}=q\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}-\displaystyle\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}\biggr)\dot{x}_{j}-q\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}+\displaystyle\frac{\partial A_{i}}{\partial t}\biggr)\)

 

\(=q(\varepsilon_{ijk} \dot{x}_{j}B_{k})+qE_{i}\)

 

ベクトル形式で書くと

\(m\ddot{\boldsymbol{x}}=q(\boldsymbol{E}+\dot{\boldsymbol{x}}\times\boldsymbol{B})\)

となり、ローレンツ力に関する運動方程式が導かれる。

 

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