解析力学問題1

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Euler-Lagrange方程式

 

Euler-Lagrange方程式に関連した例題です。

 

\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x_{i}}-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot x_{i}}=0\) ※Euler-Lagrange方程式

 

1番 運動方程式

保存力下での一質点の物体を考える。ラグランジアン

\(L=\displaystyle\frac{1}{2}m\dot x_{i}^2-U(x_{i})\)

 

Euler-Lagrange方程式を変形していく。

\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x_{i}}-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot x_{i}}=0\) 

 

\(\Leftrightarrow\)  \(-\nabla U-\displaystyle\frac{d}{dt}(m\dot x_{i})=0\)

 

\(\Leftrightarrow\)  \(m\ddot x_{i}=-\nabla U\)

 

\(\Leftrightarrow\)  \(m\ddot x=F\) (※保存力なので\(F=-\nabla U\)

 

運動方程式が出てくる。

 

 2番 単振り子

 

上のような単振り子を考える。条件を整理する。

 

おもり座標  \((x , y)=(l\sin\theta , l-l\cos\theta)\)

微分すると  \((\dot x , \dot y)=(l\dot\theta\cos\theta,l\dot\theta\sin\theta)\)

 

ラグランジアンは

\(L=U-T\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2-mgy=\displaystyle\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2)-mgy\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\dot\theta^2-mgl(1-\cos\theta)\)

 

これを下のオイラーラグランジュ方程式に代入する。(力学変数は\(\theta\))

 

\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial\theta}-\displaystyle\frac{d}{dt }\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot\theta}=0\)   

 

\(\Leftrightarrow\)  \(-mgl\sin\theta-\displaystyle\frac{d}{dt}(ml^2\dot\theta)=0\)

 

\(\Leftrightarrow\)  \(-mgl\sin\theta-ml^2\ddot\theta=0\)

 

\(\Leftrightarrow\)  \(\ddot\theta=-\displaystyle\frac{g}{l}\sin\theta\)     

 

これは通常の力学計算の結果と同じとなっている。

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