解析力学問題2

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未定乗数法

未定乗数に関する問題です。

 

問題

 

滑車にひもがかかっている。

左のひもの長さが\(x\)、右のひもの長さが\(y\)。

左のおもりが\(M\)、右のおもりが\(m\)。

ひもの長さは\(l=x+y\)。

初期条件は\(x_{0}=a\)、\(\dot x(0)=0\)。

このとき、\(x(t) , y(t)\)を求めよ。

 

解答

\(C=x+y-l=0\)  \(\cdots\) 拘束条件

 

\(L=\displaystyle\frac{1}{2}M\dot x^2+\displaystyle\frac{1}{2}m\dot y^2+Mgx+mgy\)  \(\cdots\) ラグランジアン

 

未定乗数の方程式は

\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot x}+\lambda\displaystyle\frac{\partial C}{\partial x}=0\)より      \(Mg-M\ddot x+\lambda=0\)

 

\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot y}+\lambda\displaystyle\frac{\partial C}{\partial y}=0\)より      \(mg-m\ddot y+\lambda=0\)

 

\(\lambda\)を引き算によって消去し、\(\ddot x=-\ddot y\)を使って整理すると

 

\(\ddot x=\displaystyle\frac{M-m}{M+m}g\)

 

初期条件を考慮すると

\(x(t)=a+\displaystyle\frac{M-m}{2(M+m)}gt^2\)

\(y(t)=l-a-\displaystyle\frac{M-m}{2(M+m)}gt^2\)

 

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