[mathjax]
ボール投げ
あくまで理想的な状況でを考えています。空気抵抗等あると現実とずれます。
前提条件
初速：\(v_{0}\)
投げる角度：\(\theta\)
身長（というよりはボールを離す高さ）：\(h\)
重力加速度：\(g\)
時間：\(t\)
計算
早速計算していきます。
飛距離を\(x\)とする。
\(x\)方向…… \(x=v_{0}t\cos \theta \)
\(y\)方向…… \(-h=v_{0}t\sin \theta -\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
\(y\)方向の式で\(t\)に関しての二次方程式を解くと時間は正なので正の方を取ると、
\(t=\displaystyle\frac{v_{0}\sin \theta+\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}{g}\)
これを\(x\)方向の式に代入して整理する。
\(x=\displaystyle\frac{v_{0}}{g}(v_{0}\sin \theta\cos \theta+\cos \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh})\)
これを\(\theta\)で微分。
\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{v_{0}}{g}\biggl(v_{0}\cos^2 \theta-v_{0}\sin^2 \theta-\sin \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}+\displaystyle\frac{v_{0}^2\sin \theta\cos ^2\theta}{\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}\biggr)\)
\(=\displaystyle\frac{v_{0}}{g}\biggl[v_{0}\cos^2 \theta\biggl(1+\displaystyle\frac{v_{0}\sin \theta}{\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}\biggr)\)
\(-\sin \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}\biggl(1+\displaystyle\frac{v_{0}\sin \theta}{\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}\biggr)\biggr]\)
\(=\displaystyle\frac{v_{0}}{g}\biggl(v_{0}\cos^2 \theta-\sin \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}\biggr)\biggl(1+\displaystyle\frac{v_{0}\sin \theta}{\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}\biggr)\)
これが0になる時\(x\)、すなわち飛距離は最大になる。後ろのカッコ内は正なので0になるのは前のカッコ内が0の時。この時の\(\sin \theta\)は
\(v_{0}\cos^2 \theta-\sin \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}=0\) より
\(\sin \theta=\sqrt{\displaystyle\frac{v_{0}^2}{2v_{0}^2+2gh}}\)\(=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2+\frac{2gh}{v_{0}^2}}}\)
\(h=0\)とすると\(\sin \theta=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\)なので45度が最大というよく見る結果となります。
しかし、身長分だけ余分な項が分母について\(\sin \theta\)の値が小さくなっています。
「身長が高い」、「初速が遅い」ほど45度からのずれが大きくなります。
例
具体例を考えてみます。
うでの長さがあるのでボールを離す高さはおよそ\(2m\) 程でしょうか。今回はこれで計算。
初速は\(20m/s\)としておきます。（時速72㎞）
これらを代入して計算すると
\(\sin \theta=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2+\frac{2\times 9.8\times 2}{400}}}\)
これを計算すると
\(\theta\)の値はおよそ43.66°となります。
少しではありますが、45度から、ずれました。
ついでに\(x\)（飛距離）を計算すると
43.66°の時は約\(42.77m\)、45°の時は約\(42.72m\) となって\(5cm\)の差が出ました。
