微積物理 力学

力学
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微積物理 力学

本来物理は微分積分を使うものなのだが、(というか物理と微分積分は切っても切り離せない)高校では指導要領の関係で微積を使った物理を教わらない。

なので、今回は高校物理で出てくる公式を微積分を使って導出していく。

 

※速度は$v=\dot{x}=\displaystyle\frac{dx}{dt}$、加速度は$a=\ddot{x}=\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}$です。

 

 

変位、速度、加速度

この辺りは話で聞いたことがある人もいるのではないかと思われます。

 

$v=v_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t} a dt=v_{0}+at$

$x=x_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t} v dt=x_{0}+\displaystyle\int_{0}^{t} (v_{0}+at)dt=x_{0}+v_{0}t+\displaystyle\frac{1}{2}at^2$

※$v_{0}$や$x_{0}$は積分定数と考えて初期条件から決まるように考えられる。

 

運動量と力積

$m\ddot{x}=F$ の両辺を時間積分する。

 

$\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2} m\ddot{x} dt=\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} F dt$

$\biggl[m\dot{x}(t)\biggr]_{t_{1}}^{t_{2}}=I$ ※右辺は力積の定義なので$I$になる。

$mv_{2}-mv_{1}=I$

 

「運動量と力積の関係式」は運動方程式の時間積分そのものです。

 

仕事と運動エネルギー

$m\ddot{x}=F$の運動方程式に$\dot{x}$をかけて積分する。

 

$\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}m\ddot{x}\dot{x} dt=\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} F\dot{x} dt$

$\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{x}(t)\biggr]_{t_{1}}^{t_{2}}=\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}} F dx$

$\displaystyle\frac{1}{2}mv_{2}^2-\displaystyle\frac{1}{2}mv_{1}^2=W$ ※右辺は仕事の定義であるため$W$になる。

 

「仕事とエネルギーの関係」は速度をかけた運動方程式の時間積分です。

 

力学的エネルギー保存則

 

先程の$W=\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}} F dx=\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{2}} F dx-\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{1}} F dx=-U(x_{2})+U(x_{1})$

 

※$U(x)=-\displaystyle\int_{x_{0}}^{x} F(x)dx$

 

ここから $\displaystyle\frac{1}{2}mv_{2}^2-\displaystyle\frac{1}{2}mv_{1}^2=-U(x_{2})+U(x_{1})$

となり、整理すると

$U(x_{1})+\displaystyle\frac{1}{2}mv_{1}^2=U(x_{2})+\displaystyle\frac{1}{2}mv_{2}^2$

という力学的エネルギー保存則が得られる。

 

単振動

$m\ddot{x}=-kx$を書き換えると、($k=m\omega^2$の関係式を使って)

 

$\ddot{x}+\omega^2 x=0$

 

この二階微分方程式の解は \(X(t)= A\sin\omega t+B\cos\omega t\)

 

※初期条件を考慮すると以下の式で書ける。

\(x=x_{0}\sin \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}t+\displaystyle\frac{v_{0}}{\omega}\cos \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}t\)

 

万有引力

\(U(R)=\displaystyle\int_{R}^{\infty} -G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}dr=\left[G\displaystyle\frac{Mm}{r}\right]_{R}^{\infty}=-G\displaystyle\frac{Mm}{R}\)

 

 

※おまけの話ですが、\(F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\)において\(g=G\displaystyle\frac{M}{r^2}\)とおいたものが重力加速度(地球に関する値を一定とみなしている。)

このとき、\(F=mg\)となっている。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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