極座標 速度と加速度

力学
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極座標における速度と加速度です。力学分野でよく登場します。

極座標の速度

 

上の図から以下の関係式が得られる。(上の図は、加速度についてになってますが同じです。)

 

$v_{r}=v_{x}\cos\theta+v_{y}\sin\theta$

$v_{\theta}=-v_{x}\sin\theta+v_{y}\cos\theta$

 

$v_{x}=\displaystyle\frac{d}{dt}(r\cos\theta)=\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta$

$v_{y}=\displaystyle\frac{d}{dt}(r\sin\theta)=\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta$

 

これらを上の式に代入すると、極座標での速度が導出できる。

$v_{r}=(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\cos\theta+(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\sin\theta=\dot{r}$

$v_{\theta}=-(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\sin\theta+(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\cos\theta=r\dot{\theta}$

 

 

極座標の加速度

$a_{r}=a_{x}\cos\theta+a_{y}\sin\theta$

$a_{\theta}=-a_{x}\sin\theta+a_{y}\cos\theta$

 

$a_{r}=\displaystyle\frac{d}{dt}(\dot{r}\cos\theta+r\dot{\theta}\sin\theta)$

$=\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta$

 

$a_{\theta}=\displaystyle\frac{d}{dt}(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)$

$=\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta$

 

これらを上の式に代入すると、極座標での加速度が導出できる。

 

$a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2$

$a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}$

 

等速円運動

例として等速円運動を考える。

$m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=F_{r}$

$m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})=F_{\theta}$

 

$r$は一定で$\dot{\theta}=\omega$も一定なので、$\dot{r}=\ddot{\theta}=0$。つまり以下のようになる。

$F_{r}=-mr\omega^2$

$F_{\theta}=0$

 

 

 

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