地球の裏側まで何分？

二つの方法を考えます。

①地球貫通トンネル（重力のみの影響として仮想的に考える）

②第一宇宙速度（地球の重力に逆らって地球の周りをまわっていられる最初速度）で地上を半周する。

計算にあたって前提条件を設定しておきます。

地球の質量：\(M\)

物体（人、ボールなど）の質量：\(m\)

万有引力定数：\(G\)

重力加速度：\(g\)

地球の密度は一定と仮定。

地球の中心を原点として上方向に\(x\)軸を取る。

中心から\(x\) 離れた位置での運動方程式は

\(ma= -G\times \displaystyle\frac{M(\frac{x}{R})^3 m}{x^2}\)

\(M(\frac{x}{R})^3\) は半径\(x\)の球の中の質量。密度一定から求める部分を\(y\)とすると

\(M ：y = R^3 ： x^3\) 　から導ける。

\(ma= -G\times \displaystyle\frac{M(\frac{x}{R})^3 m}{x^2}\)を整理すると

\(a=-\displaystyle\frac{GMx}{R^3}=-\displaystyle\frac{gx}{R}\)

※地上ではほぼ「重力」＝「万有引力」なので\(mg=\displaystyle\frac{GMm}{R^2}\)

整理すると \( GM=gR^2\)　となる。……①

よって、周期は \(T=2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\)

反対側まで行く時間はこれの半分なので \(\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\)

これに \(R=6.4\times 10^6 m\)と \( g=9.8 m/s^2\)を代入するとおよそ42分となる。

第一宇宙速度をまず求めます。これは、地球の周りを回り続ける。つまり、「物体の遠心力」と「万有引力（地上なので重力でもよい）」が等しい。

遠心力は速度を\(v\)とすると\(\displaystyle\frac{mv^2}{R}\)

万有引力は \(\displaystyle\frac{GMm}{R^2}\)であり、①を使うと\(mg\) となる。

これらが等しいので \(\displaystyle\frac{mv^2}{R}=\)\(\displaystyle\frac{GMm}{R^2}\)\(=mg\)

\(v=\sqrt{gR}\) となる。

この速度で地球を半周（\(=\pi R\)）するので、所要時間は

\(\displaystyle\frac{\pi R}{\sqrt{gR}}=\pi\sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\)

これは①で求めた貫通トンネルの所要時間と全く同じである。

今回のように理想化条件では所要時間が同じになります。