地球を貫通するトンネルを作ってみる
地球中心から上方に$x$軸を取ると中心から$x$での運動方程式は
$$ma= -G\times \displaystyle\frac{M(\frac{x}{R})^3 m}{x^2}$$
地球の質量を$M$、人間の質量を$m$とおいた。
$$a=-\displaystyle\frac{GMx}{R^3}=-\displaystyle\frac{gx}{R}$$
周期が$T=2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}$になるので、地球の裏側まで行くには$T=\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}$かかる。
具体的に地球の半径$R=6.4\times 10^6 m$ と $g=9.8 m/s^2$ を代入すると約42分になった。
地球を半周してみる
第一宇宙速度で半周する場合、$v=\sqrt{gR}$。遠心力と重力のつり合いからでてくる。
この速度で地球の半周($=\pi R$)移動するので、所要時間は$\pi\sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}$となる。先程の結果と同じになった。
