ボール投げの最適角度は45度ではない?

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ボール投げ

 

あくまで理想的な状況で、です。空気抵抗なりいろいろあると実際の感じとは、ずれます。

 

前提条件

初速:\(v_{0}\)

投げる角度:\(\theta\)

身長(というよりはボールを離す高さ):\(h\)

重力加速度:\(g\)

時間:\(t\)

 

計算

早速計算していきます。

飛距離を\(x\)とする。

 

\(x\)方向…… \(x=v_{0}t\cos \theta \)

 

\(y\)方向…… \(-h=v_{0}t\sin \theta -\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)

 

\(y\)方向の式で\(t\)に関しての二次方程式を解くと時間は正なので正の方を取ると、

 

\(t=\displaystyle\frac{v_{0}\sin \theta+\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}{g}\)

 

これを\(x\)方向の式に代入して整理する。

 

\(x=\displaystyle\frac{v_{0}}{g}(v_{0}\sin \theta\cos \theta+\cos \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh})\) 

 

これを\(\theta\)で微分。

 

\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{v_{0}}{g}\biggl(v_{0}\cos^2 \theta-v_{0}\sin^2 \theta-\sin \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}+\displaystyle\frac{v_{0}^2\sin \theta\cos ^2\theta}{\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{v_{0}}{g}\biggl[v_{0}\cos^2 \theta\biggl(1+\displaystyle\frac{v_{0}\sin \theta}{\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}\biggr)\)

\(-\sin \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}\biggl(1+\displaystyle\frac{v_{0}\sin \theta}{\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}\biggr)\biggr]\)

 

\(=\displaystyle\frac{v_{0}}{g}\biggl(v_{0}\cos^2 \theta-\sin \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}\biggr)\biggl(1+\displaystyle\frac{v_{0}\sin \theta}{\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}}\biggr)\)

 

これが0になる時\(x\)、すなわち飛距離は最大になる。後ろのカッコ内は正なので0になるのは前のカッコ内が0の時。この時の\(\sin \theta\)は

 \(v_{0}\cos^2 \theta-\sin \theta\sqrt{(v_{0}\sin \theta)^2+2gh}=0\) より

 

\(\sin \theta=\sqrt{\displaystyle\frac{v_{0}^2}{2v_{0}^2+2gh}}\)\(=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2+\frac{2gh}{v_{0}^2}}}\)

 

\(h=0\)とすると\(\sin \theta=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\)なので45度が最大というよく見る結果となります。

 

しかし、身長分だけ余分な項が分母について\(\sin \theta\)の値が小さくなっています。

「身長が高い」、「初速が遅い」ほど45度からのずれが大きくなります。

 

具体例を考えてみます。

うでの長さがあるのでボールを離す高さはおよそ\(2m\) 程でしょうか。今回はこれで計算。

初速は\(20m/s\)としておきます。(時速72㎞)

これらを代入して計算すると

 

\(\sin \theta=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2+\frac{2\times 9.8\times 2}{400}}}\)

 

これを計算すると

\(\theta\)の値はおよそ43.66°となります。

誤差程度かもしれませんが45度から、ずれました。

 

ついでに\(x\)(飛距離)を計算すると

 

43.66°の時は約\(42.77m\)、45°の時は約\(42.72m\)  となって\(5cm\)の差が出ました。

 

 

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