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無限回バウンドでの総距離、時間
物理の力学の問題です。
問題
高さ\(h\) から反発係数\(e\) の床にボールを落とした時、ボールの総移動距離、所要時間はそれぞれいくら？（\(e\neq 1\)）
解答
総移動距離
跳ね返る直前の速さを\(v\) とすると、力学的エネルギー保存則より
\(mgh=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
これを解くと、\(v=\sqrt {2gh}\)
反発係数とは跳ね返りの速度比なので跳ね返り直後の速さは、\(e\sqrt {2gh}\)となっている。
ここから、再び最高点（\(=H\)とおく）に達するまでで力学的エネルギー保存則を使うと
\(\displaystyle\frac{1}{2}m(e\sqrt{2gh})^2=mgH\)
\(H=he^2\) となる。つまり、最高点の高さは\(e^2\)倍になっていく。
よって総距離は
\(h+2(he^2+he^4+he^6+he^8+\cdots)=h+2h(e^2+e^4+e^6+e^8+\cdots)\)
\(=h+2h\cdot \displaystyle\frac{e^2}{1-e^2}\)\(\displaystyle\frac{1+e^2}{1-e^2}h\)
手に持っていたボールを\(1m\)の高さから落としたとする。反発係数を\(0.8\)とすると
\(\displaystyle\frac{1+0.8^2}{1-0.8^2}\simeq 4.6m\)
所要時間
高さ\(h\)から落下するとき、かかる時間（\(=t\)とおく）は\(h=\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) より
\(t=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)
高さ\(e^2h\)から落下するとき、かかる時間（\(=T\)とおく）は\(e^2h=\displaystyle\frac{1}{2}gT^2\) より
\(T=e\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)
つまり、かかる時間は\(e\)倍ずつになっていってるので、総所要時間は次のようになる。
\(\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}+2\biggl(e\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}+e^2\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}+e^3\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}+\cdots \biggr)\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}(1+2e+2e^2+2e^3\cdots )\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\biggl(1+\displaystyle\frac{2e}{1-e}\biggr)\)
\(=\displaystyle\frac{1+e}{1-e}\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)
手に持っていたボールを\(1m\)の高さから落としたとする。反発係数を\(0.8\)とすると
\(\displaystyle\frac{1+0.8}{1-0.8}\sqrt{\displaystyle\frac{2}{9.8}}=\displaystyle\frac{9\sqrt 10}{7}\simeq 4(s)\)
