無限回バウンド、衝突

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無限回バウンドでの総距離、時間

物理の力学の問題です。

問題

高さ\(h\) から反発係数\(e\) の床にボールを落とした時、ボールの総移動距離、所要時間はそれぞれいくら?(\(e\neq 1\))

解答

総移動距離

跳ね返る直前の速さを\(v\) とすると、力学的エネルギー保存則より

\(mgh=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)

これを解くと、

\(v=\sqrt {2gh}\)

反発係数とは跳ね返りにおける速さの比なので跳ね返った直後の速さは

\(e\sqrt {2gh}\)となっている。

ここから、再び最高点(\(=H\)とおく)に達するまでで力学的エネルギー保存則を使うと

\(\displaystyle\frac{1}{2}m(e\sqrt{2gh})^2=mgH\)

 \(H=he^2\) となる。つまり、最高点の高さは\(e^2\)倍になっていく。

 よって総距離は

\(h+2(he^2+he^4+he^6+he^8+\cdots)=h+2h(e^2+e^4+e^6+e^8+\cdots)\) 

無限等比級数の公式を使う。

\(h+2h\cdot \displaystyle\frac{e^2}{1-e^2}\)

これを計算すると \(\displaystyle\frac{1+e^2}{1-e^2}h\) という答えとなる。

例えば、手に持っていたテニスボールを\(1m\)の高さから落としてしまったとすると、テニスボールの反発係数は大体\(0.8\)くらいだそうなので、理想的な状況では

\(\displaystyle\frac{1+0.8^2}{1-0.8^2}\) でこれは大体\(4.6m\)となる。

だからどうした、と言われればそれまでですが。

所要時間

高さ\(h\)から落下するとき、かかる時間(\(=t\)とおく)は

\(h=\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) より

\(t=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)

高さ\(e^2h\)から落下するとき、かかる時間(\(=T\)とおく)は

\(e^2h=\displaystyle\frac{1}{2}gT^2\) より

\(T=e\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)

つまり、かかる時間は\(e\)倍ずつになっていってるので、総所要時間は次のようになる。

\(\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}+2\biggl(e\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}+e^2\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}+e^3\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}+\cdots \biggr)\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}(1+2e+2e^2+2e^3\cdots )\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\biggl(1+\displaystyle\frac{2e}{1-e}\biggr)\)

\(=\displaystyle\frac{1+e}{1-e}\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) が答えとなる。

手に持っていたテニスボールを\(1m\)の高さから落としてしまったとすると、テニスボールの反発係数は大体\(0.8\)くらいなので、理想的な状況では

\(\displaystyle\frac{1+0.8}{1-0.8}\sqrt{\displaystyle\frac{2}{9.8}}=\displaystyle\frac{9\sqrt 10}{7}\) でこれは大体\(4\)秒となる。

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