ジェットコースターが回れる条件

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ジェットコースター、よく一回転するものありますよね。

あれが、位置エネルギーだけで回転するためにはどうあればよい??ということを今回計算していきます~。

力学での定番問題です。摩擦等は今回なしでの計算になります。

 

 

\(h\)   …… スタートの高さ

\(m\)   ……ジェットコースターの質量

\(g\)   ……重力加速度

\(r\)   ……一回転するときの半径

計算

 

 

保存則

最高点での速さを\(v\)として「最初」と「最高点」でエネルギー保存則を立てる。

 

最初は\(mgh\)(位置エネルギーのみ)

最高点は\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+2mgr\) (運動、位置エネルギー両方ある)

 

力学エネルギーは保存するので、等号で書くと

\(mgh=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+2mgr\) 

 

これを変形すると \(2mgh-4mgr=mv^2\)

 

\(m\)で割ると \(v^2=2gh-4gr\)

 

一回転

一回転する=最高点で落ちない=最高点で垂直抗力が存在

 

\(N=\displaystyle\frac{mv^2}{r}-mg \geq 0\) であるとき一回転する。(\(N\)は垂直抗力)

 

ここで、\(v^2\)の所に保存則で出した式を代入。

 

\(\displaystyle\frac{2mgh-4mgr}{r}-mg\geq 0\)

 

\(\displaystyle\frac{2mgh}{r}-5mg\geq 0\)

 

\(h\geq \displaystyle\frac{5}{2}r\)

 

となる。つまり、円半径の2.5倍の高さから落下すれば一回転する。

 

 半径が\(20(m)\) だとすると、\(50(m)\) 以上の高さから落下していないといけない。

 

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