慣性テンソル

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慣性テンソル

対角成分を慣性モーメント係数、それ以外を慣性乗積と呼ぶ。

 

 

計算

ある軸まわりに一様な角速度ベクトル(\(=\omega\))で回転してる場合を考える。(剛体を考えてる。)

角運動量ベクトルを変形していく。すべての粒子に対して和を取っている。

以下のベクトルは原点から見たベクトルに限る必要はない。点A中心の慣性テンソルなら全てその点まわりのベクトルになる。

 

\(\boldsymbol{L}=\displaystyle\sum_{i} \boldsymbol{r_{i}}\times m_{i} \boldsymbol{v_{i}}\)  ※定義

 

\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r_{i}}\times(\boldsymbol{\omega} \times  \boldsymbol{r_{i}})\)  ※書き換え

 

\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i} \biggl[(\boldsymbol{r_{i}}\cdot\boldsymbol{r_{i}})\boldsymbol{\omega}-(\boldsymbol{r_{i}}\cdot \boldsymbol{\omega})\boldsymbol{r_{i}}\biggr]\)  ※ベクトル解析の公式

 

座標表示

\(\boldsymbol{r_{i}}\) と \(\boldsymbol{\omega}\)を座標表示する。

\(\boldsymbol{r_{i}}=(x_{i},y_{i},z_{i})\)

\(\boldsymbol{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})\)

 

すると以下のように変形できる。(先程の計算の続き)

 

\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i} \biggl[(x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2)\boldsymbol{\omega}-(x_{i}\omega_{x}+y_{i}\omega_{y}+z_{i}\omega_{z})\boldsymbol{r_{i}}\biggr]\)

 

\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i} \)\(\left( \begin{array}{ccc} x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2 & 0 & 0 \\ 0 & x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2 & 0 \\ 0 & 0 & x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2 \end{array} \right)\)\(\left( \begin{array}{c} \omega_{x} \\ \omega_{y} \\ \omega_{z} \end{array} \right)\)

 

\(-\displaystyle\sum_{i} m_{i}\)\(\left( \begin{array}{ccc} x_{i}^2 & x_{i}y_{i} & x_{i}z_{i} \\ x_{i}y_{i} & y_{i}^2 & y_{i}z_{i} \\ x_{i}z_{i} & y_{i}z_{i} & z_{i}^2 \end{array} \right)\)\(\left( \begin{array}{c} \omega_{x} \\ \omega_{y} \\ \omega_{z} \end{array} \right)\)

 

\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i}\left( \begin{array}{ccc} y_{i}^2+z_{i}^2 & – x_{i}y_{i} & -x_{i}z_{i} \\ -x_{i}y_{i} &  z_{i}^2+x_{i}^2 & – y_{i}z_{i} \\ -x_{i}z_{i} & – y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2 \end{array} \right)\boldsymbol{\omega}\)

 

\(=I\boldsymbol{\omega}\)

 

結果

上の計算より慣性テンソルは以下のようになる。

 

\(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i} m_{i} (y_{i}^2+z_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (z_{i}^2+x_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (x_{i}^2+y_{i}^2) \end{array} \right)\) 

 

 

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