地球の裏側まで何分?

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地球の裏側まで何分?

二つの方法を考えます。

 

①地球貫通トンネル(重力のみの影響として仮想的に考える)

 

②第一宇宙速度(地球の重力に逆らって地球の周りをまわっていられる最初速度)で地上を半周する。

 

計算にあたって前提条件を設定しておきます。

地球の質量:\(M\) 

物体(人、ボールなど)の質量:\(m\)

万有引力定数:\(G\)

重力加速度:\(g\)

地球の密度は一定と仮定。

 

①地球貫通トンネル

 

 

地球の中心を原点として上方向に\(x\)軸を取る。

中心から\(x\) 離れた位置での運動方程式は

 

\(ma= -G\times \displaystyle\frac{M(\frac{x}{R})^3 m}{x^2}\)

 

\(M(\frac{x}{R})^3\) は半径\(x\)の球の中の質量。密度一定から求める部分を\(y\)とすると

 

\(M :y = R^3 : x^3\)  から導ける。

 

 \(ma= -G\times \displaystyle\frac{M(\frac{x}{R})^3 m}{x^2}\)を整理すると

 

\(a=-\displaystyle\frac{GMx}{R^3}=-\displaystyle\frac{gx}{R}\)

 

※地上ではほぼ「重力」=「万有引力」なので\(mg=\displaystyle\frac{GMm}{R^2}\)

整理すると  \( GM=gR^2\) となる。……①

 

よって、周期は(公式利用)

 

\(T=2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\)

 

反対側まで行く時間はこれの半分なので

\(\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\)

 

これに \(R=6.4\times 10^6 m\)と \( g=9.8 m/s^2\)を代入すると

およそ42分

となる。

 

②第一宇宙速度で地上を半周する。

 

 

 第一宇宙速度をまず求めます。

これは、地球の周りを回り続ける。つまり、「物体の遠心力」と「万有引力(地上なので重力でもよい)」が等しい。

 

遠心力は速度を\(v\)とすると\(\displaystyle\frac{mv^2}{R}\)

 

万有引力は \(\displaystyle\frac{GMm}{R^2}\)であり、①を使うと\(mg\) となる。

これらが等しいので

\(\displaystyle\frac{mv^2}{R}=\)\(\displaystyle\frac{GMm}{R^2}\)\(=mg\)

 

\(v=\sqrt{gR}\) となる。

 

この速度で地球を半周(\(=\pi R\))するので、所要時間は

 

\(\displaystyle\frac{\pi R}{\sqrt{gR}}=\pi\sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\)

 

これは①で求めた貫通トンネルの所要時間と全く同じである。

今回のように理想化条件では所要時間が同じになります。

 

 

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