誘電体球 ラプラス方程式例題2

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問題

\(z\)方向一様電場 \(E_{0}\)が誘電率\(\varepsilon_{2}\) の誘電体の中にある。

ここに半径\(a\)、誘電率\(\varepsilon_{1}\)の導体球を置く。

このとき、球内、球外での静電ポテンシャル(電位)を求める。

 

 

解答

球の中心を原点にとる。

\(\boldsymbol{r}\)と\(z\)軸となす角を\(\theta\)とする。

 

球外の電場

一様電場による静電ポテンシャル(\(=\phi_{1}\))は

\(\phi_{1}=-E_{0}z=-E_{0}r\cos\theta\)

 

よってラプラス方程式の解において無限遠で\(0\)となる境界条件で考えると

\(\phi_{外}=-E_{0}r\cos\theta+\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} \displaystyle\frac{B_{l}}{r^{l+1}}P_{l}(\cos\theta)\)

 

極座標でのラプラス方程式の解です。

 

球内の電場

原点で無限大にならないためには、ラプラス方程式の解は以下のようになる。

\(\phi_{内}=\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} A_{l}r^{l} P_{l}(\cos\theta)\)

 

境界条件

その1

\(r=a\)で \(\phi_{外}=\phi_{内}\) の境界条件より

\(-E_{0}a\cos\theta+\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} \displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+1}}P_{l}(\cos\theta)=\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} A_{l}a^{l} P_{l}(\cos\theta)\)

これが\(\theta\)によらず成立する。

 

① 「\(l=0\)」 \(\displaystyle\frac{B_{0}}{a}=A_{0}\)

 

② 「\(l=1\)」 \(-E_{0}a+\displaystyle\frac{B_{1}}{a^2}=A_{1} a\)

 

③ 「\(l\geq 2\)」 \(\displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+1}}=A_{l} a^{l}\)

 

その2

電束密度(\(=D\))の法線成分は一定なので

\(\varepsilon_{2} \biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi_{外}}{\partial r}\biggr)_{r=a}=\varepsilon_{1} \biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi_{内}}{\partial r}\biggr)_{r=a}\)

 

代入して整理すると

\(-\varepsilon_{2} E_{0}\cos\theta-\varepsilon_{2}\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} (l+1)\displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+2}} P_{l}(\cos\theta)=\varepsilon_{1} \displaystyle\sum_{l=1}^{\infty} l A_{l} a^{l-1} P_{l}(\cos\theta)\)

これが\(\theta\)によらず成立する。

 

④ 「\(l=0\)」 \(B_{0}=0\)

 

⑤ 「\(l=1\)」 \(-\varepsilon_{2}E_{0}-2\varepsilon_{2}\displaystyle\frac{B_{1}}{a^3}=\varepsilon_{1}A_{1}\)

 

⑥ 「\(l\geq 2\)」 \(-\varepsilon_{2}(l+1)\displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+2}}=\varepsilon_{1} l A_{l} a^{l-1}\)

 

 

①と④より \(A_{0}=B_{0}=0\)

 

②と⑤より 

\(A_{1}=-\displaystyle\frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0}\)

\(B_{1}=\displaystyle\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0} a^3\)

 

③と⑥より \(A_{l}=B_{l}=0\) 

 

まとめ

これらを元の式に代入すると答えは

 

\(\phi_{外}=-E_{0}r\cos\theta+\displaystyle\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}\cdot\displaystyle\frac{E_{0}a^3 \cos\theta}{r^2}\)

 

\(\phi_{内}=-\displaystyle\frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0}r\cos\theta\)

 

 

答え

\(\phi_{外}=-E_{0}r\cos\theta+\displaystyle\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}\cdot\displaystyle\frac{E_{0}a^3 \cos\theta}{r^2}\)

 

\(\phi_{内}=-\displaystyle\frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0}r\cos\theta\)

 

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