電磁気学1 マクスウェル方程式

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マクスウェル方程式。

電磁気学の根幹をなす基本方程式です。

 

 

マクスウェル方程式とは

マクスウェル方程式どのようなものでしょうか?まずはマクスウェル方程式を見てみましょう。

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{ρ(\boldsymbol{r},t)}{ε_{0}}  \cdots\) ガウスの法則

 

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\) 単磁荷が存在しない

 

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=  \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots アンペールの法則\)

 

\(\boldsymbol{E}\) は電場、\(\boldsymbol{B}\) は磁場。

初めて見ると意味が分からないと思います。とりあえず、これら4つの方程式をまとめてマクスウェル方程式と呼びます。

電磁気学の根本になる大変重要な方程式です。

 

※\((\boldsymbol{r},t)\)はこれらに依存して値が決まるのを表しているだけです。

 ひとつずつ式の意味を見てみましょう。(具体的な証明は今回はしません。)

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}}  \cdots\) ガウスの法則

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\)  についてですが\(\mathrm{div}\)は発散と呼ばれ、ベクトル場の流出を表します。

 

発散のイメージ

 

\(\mathrm{div \vec{E}(\vec{r},t)}\)  全体で一つの値となっています。

\(\epsilon_{0}\)は定数で、\(\rho\) は、電荷密度(C/\(m^3\))。

 

右辺から考えると、「電荷が存在している」→「電場が発生している」ということを意味します。

電荷が存在してるならばそこから電場が発生している」ということをあらわしています。

 

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導

 

\(\displaystyle\frac{\partial\vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}=-{rot\vec{E}(\vec{r},t)}\)   と書き換えておく。コイルを考える。

 

\(\displaystyle\frac{\partial\vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}\)  すなわち「磁場の変化」が「回転(\(\mathrm{rot}\))する電場(コイルに電流)」を生み出します。ということを言っています。

これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。

※\(\mathrm{rot}\)  とは回転を意味する。

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\)  単磁荷が存在しない

上で説明したように \(\mathrm{div}\) とは発散を意味します。

つまり、この式は「磁場の発散」は起こらない。ということを言っています。

磁場が一方的に発散するようなことはない」\(=\)「モノポール(単磁荷)が存在しない」ことをこの式は言っています。

※もし、モノポールが見つかれば、式は変わってきます。

 

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=  \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\)  アンペールの法則

 

\(mu_{0}\) は透磁率。\(\boldsymbol{i}\)は電流密度(\(A/m^2\))

右辺の第一項は「電流」を第二項は「電場の変化」を表します。

つまり、「電流」や「電場の変化」によって回転する磁場が発生する。という主張です。これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。

 

 

 

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