電磁気学1 マクスウェル方程式

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マクスウェル方程式。

電磁気学の根幹をなす基本方程式です。

 

マクスウェル方程式とは

以下の4つの式をまとめてマクスウェル方程式といいます。(微分形)

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{ρ(\boldsymbol{r},t)}{ε_{0}}  \cdots\) ガウスの法則

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導

\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\) 単磁荷が存在しない

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=  \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots アンペールの法則\)

 

電束密度\(\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0}\boldsymbol{E}\)、磁場強度\(\boldsymbol{H}=\displaystyle\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_{0}}\)を使うと以下のようにも書けます。

 

\(\nabla\cdot \boldsymbol{D}=\rho\)

\(\nabla\times\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot\boldsymbol{B}=0\)

\(\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\)

 

ちなみに意味は同じだが、式が違う積分形のマクスウェル方程式もある。

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=Q\)

\(\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{s}=-\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}\)

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=0\)

\(\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{s}=\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{i}\cdot d\boldsymbol{S}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \displaystyle\int\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}\)

 

 

\(\boldsymbol{E}\) は電場、\(\boldsymbol{B}\) は磁束密度(磁場に対応)。

電磁気学の根本になる大変重要な方程式です。

 

※\((\boldsymbol{r},t)\)はこれらに依存して値が決まるのを表しているだけです。

 ひとつずつ式の意味を見てみましょう。(具体的な証明は今回はしません。)

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}}  \cdots\) ガウスの法則

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\) についてですが\(\mathrm{div}\)は発散と呼ばれ、ベクトル場の流出を表します。

 

発散のイメージ

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\) 全体で一つの値となっています。

\(\epsilon_{0}\)は定数で、\(\rho\) は、電荷密度。

 

右辺から考えると、「電荷が存在している」→「電場が発生している」ということを意味します。

電荷が存在してるならばそこから電場が発生している」ということをあらわしています。

 

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導

 

\(\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}=-{\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}\)   と書き換えておく。

コイルを考えてみると、\(\displaystyle\frac{\partial\vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}\)  すなわち「磁場の変化」が「回転(\(\mathrm{rot}\))する電場(コイルに電流)」を生み出します。ということを言っています。

 

※図はコイルのつもりです笑

これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。

※\(\mathrm{rot}\)  とは回転を意味する。

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\)  単磁荷が存在しない

上で説明したように \(\mathrm{div}\) とは発散を意味します。

つまり、この式は「磁場の発散」は起こらない。ということを言っています。

磁場が一方的に発散するようなことはない」\(=\)「モノポール(単磁荷)が存在しない」ことをこの式は言っています。

※もし、モノポールが見つかれば、右辺が0でなくなり、式は変わってきます。

 

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=  \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\)  アンペールの法則

 

\(\mu_{0}\) は透磁率で、\(\boldsymbol{i}\)は電流密度。

右辺の第一項は「電流」を第二項は「電場の変化」を表します。

つまり、「電流」や「電場の変化」によって回転する磁場が発生する。という主張です。これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。

 

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