電磁気学10 静電場の多重極展開

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電磁気学10 静電場の多重極展開

 

 

静電場の静電ポテンシャル 

\(\phi(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x’})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’}|}d^3 x’\)

という式について考える。

電荷分布が原点に対して球対称なら計算できるが、そうでなければ計算できないので、この時、「多重極展開」という近似を用いる。

 

多重極展開

\(r\)で観測。※電荷分布は球内に収まっている。

 

\(\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x’}|}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{r^2+x’^2-2rx’\cos\theta}}\)    (余弦定理)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\biggl(\displaystyle\frac{x’}{r}\biggr)^2-2\biggl(\displaystyle\frac{x’}{r}\biggr)\cos\theta}}\)     (変形)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+t^2-2t\cos\theta}}\)    (\(t=\displaystyle\frac{x’}{r}\))

 

\(=\displaystyle\frac{1}{r}(1-z)^{-\frac{1}{2}}\)       (\(z=2t\cos\theta-t^2\))

 

\(=\displaystyle\frac{1}{r}\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{2}z+\displaystyle\frac{3}{8}z^2+\cdots\biggr)\)      (マクローリン展開)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{r}\biggl(1+t\cos\theta-\displaystyle\frac{t^2}{2}+\displaystyle\frac{3}{2}t^2\cos^2\theta\cdots\biggr)\)  (\(z\)を戻す)

 

\(x=\cos\theta\)とおくと

 

\(=\displaystyle\frac{1}{r}\biggl[1+xt+\biggl(\displaystyle\frac{3}{2}x^2-\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)t^2+\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x\biggr)t^3+\cdots\biggr]\)  

 

\(=\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{x’}{r}\biggr)^l P_{l}(\cos\theta)\)  (ルジャンドル多項式使用、\(t\)を元に戻す。)

 

ルジャンドル多項式

ただし、ここで

\(P_{0}(x)=1\)

\(P_{1}(x)=x\)

\(P_{2}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(3x^2-1)\)

\(P_{3}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(5x^3-3x)\)

というように置いた。これをルジャンドル多項式という。

\(P_{l}(x)=\displaystyle\frac{1}{2^l l!}\displaystyle\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\)

 

静電ポテンシャル

上の変形を\(\phi\)の式に代入する。

 つまり、静電ポテンシャルは次のように書ける。

 

\(\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x’}|}d^3 x’\)\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x’})}{r}\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{x’}{r}\biggr)^l P_{l}(\cos\theta)d^3 x’\)

このように近似している。 

以下、初めの数項を調べる。

 

\(l=0\)の項

\(\phi_{0}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon r}\displaystyle\int_{V}\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’ \)\(=\displaystyle\frac{q}{4\pi\epsilon r}\)

 

※\(q\)は全電荷量。

 これは、原点に電荷がある時の静電ポテンシャルとなっている。

 

\(l=1\)の項

\(\phi_{1}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon r^2}\displaystyle\int_{V} x’ \rho(\boldsymbol{x’})\cos\theta d^3 x’ \)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon r^3}\displaystyle\int_{V} r x’ \cos\theta\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’ \)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon r^3}\displaystyle\int_{V} (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’ \)

 

\(=\displaystyle\frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}{4\pi\epsilon r^3}\)

 

※ここで、\(\boldsymbol{p}=\displaystyle\int_{V}\boldsymbol{x’}\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’\) という量で電気双極子モーメントと呼ばれる。

 

多重極について

\(l=0\)の項が遠方で一番よくきいてくる。

 

\(l=0\)は単極子で\(~\displaystyle\frac{1}{r}\)、\(l=1\)は双極子で\(~\displaystyle\frac{1}{r^2}\)、\(l=2\)は四重極子で\(~\displaystyle\frac{1}{r^3}\)、\(l=3\)は八重極子で\(~\displaystyle\frac{1}{r^4}\) というように以下続く。

 

\(l\)を大きくしていくと、より正確なものになっていく。

 

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