電磁気学2 マクスウェル方程式 divE

シェアする

マクスウェル方程式 divE

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}} \cdots\) ガウスの法則

時間変化なし

積分型のガウスの法則

ガウスの法則とは「点電荷を内部に含む閉曲面を貫く電気力戦の総和点電荷の電気量 Q に比例する」というものです。ここで、総電荷Q(C)、半径rの球を考えてみます。球まわりの電場は

\(|\boldsymbol{E}|=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\displaystyle\frac{Q}{r^{2}}\)  となる。

これを面積積分すると

\(\displaystyle\int_{S} E(r) dS\)\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\displaystyle\frac{Q}{r^{2}} \cdot 4\pi r^{2}\)\(=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

となる。

ところで、この閉曲面は取り方によらないことが知られている。つまり、一般の場合にも拡張できて次の式が成立する。

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS = \displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{0}}\) 

※\(Q\)は閉曲面内の総電荷、\(\boldsymbol{n}\)は閉曲面上外向きの単位ベクトルです。(詳しい証明は省略します。)

左辺が「点電荷からでる電気力線」、右辺が「内部の総電荷」でこれが関係しているということです。

右辺を少し変形してみます。\(Q=\displaystyle\int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\)なので

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS = \displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\)  \(\cdots\) 積分型のガウスの法則

微分型のガウスの法則

ガウスの発散定理を使うと面積積分を体積積分に変形でき、

左辺=\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS =\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})dV\)

よって\(\displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV =\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})dV\)

中身を比較すると

\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_{0}}\)    \(\cdots \) 微分型のガウスの法則

が成立する。

時間変化する場合

この法則は時間変化に対してもそのまま拡張でき

\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}}\)

が得られる。

シェアする