電磁気学3 マクスウェル方程式 rotE

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マクスウェル方程式 rot 

 静電場の場合

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}\)

 ※ポテンシャルの存在から示される。

 

時間変化がある電磁場の場合

 

まず、ファラデーの電磁誘導の法則(誘導起電力は回路を貫く磁界の変化に比例する)より、誘導起電力を\(V\)、\(\phi\)を磁束として以下が成立。

 

 \(V=-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}\)         \(\cdots\)    ①

 

電場の線積分は電位差(起電力)なので

 

\(V=\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\cdot d\boldsymbol{r}\)

 

 磁束は閉曲面に囲まれる曲面の表面積分。

 \(\phi=\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)

 

これら二つを①に代入すると

 

\(\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\cdot d\boldsymbol{r}\)\(=-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\) \(\cdots\)  ②

 

左辺はストークスの定理を使用すると次のように書き換え可能。

 

\(\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\cdot d\boldsymbol{r}\)  \(=\displaystyle\int_{S}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)

 

②式は次のようになる。

\(\displaystyle\int_{S}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)\(=-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)

 

ここで右辺の時間変化は\(t\)にのみ依存するので、次のように変形可能

 

\(\displaystyle\int_{S}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)\(=\displaystyle\int_{S}-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)}{\partial t}\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)

 

よって、中身を比較することで

 

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t)=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)}{\partial t}\) 

が得られる。

 

  

 

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