電磁気学4 マクスウェル方程式 divB

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マクスウェル方程式 divB

 

 

磁場の発散に関する式ですが、いきなりこの式を出したと考えてもいいでしょう。(単磁荷が存在しない)

 

今回はベクトルポテンシャル関連を考えて導出してみます。

 

まず、ビオサバールの法則より

 

\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}d^3 r’\)

 

外積交換は符号逆転。

\(=-\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{ (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})d^3 r’\)

 

ベクトル解析の公式(\(\nabla\displaystyle\frac{1}{r}=-\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\))より

 

\(=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})d^3 r’\)

 

\(=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\times\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}d^3 r’\)

 

\(=\nabla\times\biggl[\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}d^3 r’\biggr]\)

 

カッコの中を\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\) と表すと

 

\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

 

両辺発散を取って、ベクトル解析の公式を用いると

\(\mathrm{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\mathrm{div}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=0\)

 

※時間変化しても同様に成立する。

 

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