電磁気学9 静電場

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電磁気学9 静電場

 

 

マクスウェル方程式

物体中のマクスウェル方程式を書いておきます。

 

Ⅰ、\(\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A_{L}}\)

Ⅱ、\(\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A_{L}}}{\partial t}-\mathrm{grad}\phi_{L}\)

Ⅲ、\(\biggl(\Delta-\displaystyle\frac{1}{v^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\boldsymbol{A_{L}}=-\mu_{o}\boldsymbol{i}\)

Ⅳ、\(\biggl(\Delta-\displaystyle\frac{1}{v^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\phi_{L}=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

Ⅴ、\(\mathrm{div}\boldsymbol{A_{L}}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi_{L}}{\partial t}=0\)

 

静電場では時間変化部分がなくなるので

① \(\boldsymbol{E}=-\mathrm{grad}\phi\)

② \(\Delta\phi=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

③ \(\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

④ \(\Delta\boldsymbol{A}=-\mu_{o}\boldsymbol{i}\)

⑤ \(\mathrm{div}\boldsymbol{A}=0\)

 

のように書ける。(見やすくするため、順番を入れ替えた。)

静電場を表す式は上の①と②、静磁場を表す式は③~⑤のように完全に分離している。

 

静電場問題

上の二式を利用して静磁場を計算していきます。

 

今回やるのは、電荷分布\(\rho\)が与えられたときに静磁場を求めるというものです。

①によると\(\phi\)さえ求めれば、静磁場は計算できるので、②の式から\(\phi\)を計算していく。

 

特解

\(\Delta\phi_{L}=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)の解\(\phi\)を求めていく。というわけです。

 

突然ですが、\(\phi(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} G(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’\) は上の方程式の解となっている。 

 

※ \(G(\boldsymbol{x})\)は\(\Delta G(\boldsymbol{x})=-\delta^3(\boldsymbol{x})\)というもの。

 

解であることの確認

\(\Delta\phi(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\Delta G(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’\)  (上の解を代入。)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’\)  (\(G(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\)部分を変形)

 

\(=-\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\epsilon}\)  (デルタ関数の性質。)

 

\(G(\boldsymbol{x})\)

\(\phi\)を求めるためにまずは、\(G(\boldsymbol{x})\)を求める。

 

フーリエ変換

まずは\(\Delta G(\boldsymbol{x})=-\delta^3(\boldsymbol{x})  \cdots\) ① をフーリエ変換する。

 

それぞれのフーリエ変換は

\(G(\boldsymbol{x})=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}G(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k\)

 

\(\delta^3 (\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k\)

というふうに書ける。

 

これらを①に代入。

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\Delta G(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k=-\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k\)

 

変形すると 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(i\boldsymbol{k})^2 G(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k=-\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k\)

 

 係数比較により、\(-\boldsymbol{k}^2 G(\boldsymbol{k})=-\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\)が得られる。つまり

 

\(G(\boldsymbol{k})=\displaystyle\frac{1}{\boldsymbol{k}^2 (2\pi)^3}\)となるのでこれをフーリエ変換した式に代入。

 

\(G(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{k}^2 }d^3 k\)

 

積分計算

極座標表示

極座標表示して積分計算をします。

\(G(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{k}^2 }d^3 k\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{e^{ikx\cos\theta}}{k^2}\cdot k^2\sin\theta dk d\theta d\psi\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\psi\displaystyle\int_{0}^{\infty} dk \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{ikx\cos\theta}\sin\theta d\theta\)

 

\(\psi\)

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\psi=2\pi\)。

 

\(\theta\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{ikx\cos\theta}\sin\theta d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{1}^{-1} e^{ikxs}(-ds)\)  (\(s=\cos\theta\))

 

\(=\displaystyle\int_{-1}^{1} e^{ikxs} ds=\biggl[\displaystyle\frac{e^{ikxs}}{ikx}\biggr]_{-1}^{1}=\displaystyle\frac{1}{ikx}(e^{ikx}-e^{-ikx})\)\(=\displaystyle\frac{2\sin kx}{kx}\)

 

※ \(e^{ikx}-e^{-ikx}=(\cos kx+i\sin kx)-(\cos kx-i\sin kx)=2i\sin kx\)

 

元の積分

まとめると、以下のようになる。 

 \(G(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{2\sin kx}{kx}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi^2 x}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\sin y}{y}dy\) (\(y=kx\)とした)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi^2 x}\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\)   (ディリクレ積分)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi |\boldsymbol{x}|}\)

 

\(\phi\)

よって\(G(\boldsymbol{x})\)が求まったので、\(\phi\)が計算できる。

 

\(\phi(\boldsymbol{x})\)\(=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} G(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’=\)\(\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x’})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’}|}d^3 x’\)

 

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