[mathjax]
マクスウェル方程式 divE
\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}} \cdots\) ガウスの法則
時間変化なし
積分型のガウスの法則
ガウスの法則とは「点電荷を内部に含む閉曲面を貫く電気力線の総和が点電荷の電気量 Q に比例する」というものです。ここで、総電荷Q(C)、半径rの球を考えてみます。球まわりの電場は
\(|\boldsymbol{E}|=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\displaystyle\frac{Q}{r^{2}}\) となる。
これを面積積分すると
\(\displaystyle\int_{S} E(r) dS\)\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\displaystyle\frac{Q}{r^{2}} \cdot 4\pi r^{2}\)\(=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{0}}\)
となる。
ところで、この閉曲面は取り方によらないことが知られている。つまり、一般の場合にも拡張できて次の式が成立する。
\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS = \displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{0}}\)
※\(Q\)は閉曲面内の総電荷、\(\boldsymbol{n}\)は閉曲面上外向きの単位ベクトルです。（詳しい証明は省略します。）
左辺が「点電荷からでる電気力線」、右辺が「内部の総電荷」でこれが関係しているということです。
右辺を少し変形してみます。\(Q=\displaystyle\int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\)なので
\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS = \displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\) \(\cdots\) 積分型のガウスの法則
微分型のガウスの法則
ガウスの発散定理を使うと面積積分を体積積分に変形でき、
左辺＝\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS =\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})dV\)
よって\(\displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV =\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})dV\)
中身を比較すると
\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_{0}}\) \(\cdots \) 微分型のガウスの法則
が成立する。
時間変化する場合
この法則は時間変化に対してもそのまま拡張でき
\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}}\)
が得られる。
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