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Maxwell方程式②
証明
まず、ファラデーの電磁誘導の法則（誘導起電力は回路を貫く磁界の変化に比例する）より、誘導起電力を\(V\)、\(\phi\)を磁束として以下が成立。
\(V=-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}\) \(\cdots\) ①
電場の線積分は電位差（起電力）なので
\(V=\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\cdot d\boldsymbol{r}\)
磁束は閉曲面に囲まれる曲面の表面積分。
\(\phi=\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)
これら二つを①に代入すると
\(\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\cdot d\boldsymbol{r}\)\(=-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\) \(\cdots\) ②
左辺はストークスの定理を使用すると次のように書き換えできる。
\(\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\cdot d\boldsymbol{r}\) \(=\displaystyle\int_{S}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)
②式は次のようになる。
\(\displaystyle\int_{S}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)\(=-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)
ここで右辺の時間変化は\(t\)にのみ依存するので、次のように変形できる。
\(\displaystyle\int_{S}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t)\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)\(=\displaystyle\int_{S}-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)}{\partial t}\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS\)
中身を比較することで次の式が得られる。
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t)=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)}{\partial t}\)
