[mathjax]
マクスウェル方程式 divB
磁場の発散に関する式ですが、いきなりこの式を出したと考えてもいいでしょう。（単磁荷が存在しない）
今回はベクトルポテンシャル関連を考えて導出してみます。
まず、ビオサバールの法則より
\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}d^3 r’\)
外積交換は符号逆転。
\(=-\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{ (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})d^3 r’\)
ベクトル解析の公式（\(\nabla\displaystyle\frac{1}{r}=-\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)）より
\(=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})d^3 r’\)
\(=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\times\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}d^3 r’\)
\(=\nabla\times\biggl[\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}d^3 r’\biggr]\)
カッコの中を\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\) と表すと
\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)
両辺発散を取って、ベクトル解析の公式を用いると
\(\mathrm{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\mathrm{div}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=0\)
※時間変化しても同様に成立する。
