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Maxwell方程式③
磁場の発散に関する式ですが、単磁荷が存在しないことから、いきなりこの式を出したと考えてもいいでしょう。
今回はベクトルポテンシャル関連を考えて導出してみます。
まず、ビオサバールの法則より
\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|^3}d^3 r^{\prime}\)
\(=-\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{ (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|^3}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})d^3 r^{\prime}\)
ベクトル解析の公式、\(\nabla\displaystyle\frac{1}{r}=-\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)を使うと
\(=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})d^3 r^{\prime}\)
\(=\nabla\times\biggl[\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|}d^3 r^{\prime}\biggr]\)
カッコの中を\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\) と表すと
\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)
両辺発散を取って、ベクトル解析の公式を用いると
\(\mathrm{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\mathrm{div}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=0\)
※時間変化しても同様に成立する。
