Maxwell方程式③ divB

電磁気学
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[mathjax]

 

Maxwell方程式③

 

 

磁場の発散に関する式ですが、単磁荷が存在しないことから、いきなりこの式を出したと考えてもいいでしょう。

 

今回はベクトルポテンシャル関連を考えて導出してみます。

 

まず、ビオサバールの法則より

\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|^3}d^3 r^{\prime}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{ (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|^3}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})d^3 r^{\prime}\)

 

ベクトル解析の公式、\(\nabla\displaystyle\frac{1}{r}=-\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)を使うと

 

\(=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})d^3 r^{\prime}\)

 

\(=\nabla\times\biggl[\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|}d^3 r^{\prime}\biggr]\)

 

カッコの中を\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\) と表すと

 

\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

 

両辺発散を取って、ベクトル解析の公式を用いると

\(\mathrm{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\mathrm{div}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=0\)

 

※時間変化しても同様に成立する。

 

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