[mathjax]
マクスウェル方程式 rotB
時間変化がない場合
まず、ビオサバールの法則より
\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}d^3 r’\)
外積交換は符号逆転。
\(=-\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{ (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})d^3 r’\)
ベクトル解析の公式（\(\nabla\displaystyle\frac{1}{r}=-\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)）より
\(=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})d^3 r’=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\times\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}d^3 r’\)
\(=\nabla\times\biggl[\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}d^3 r’\biggr]\)
カッコの中を\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\) と表すと
\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\)
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\)\(\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}))\)\(-\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\)
第一項
\(\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}))\)
これは定常電流の保存則 \(\nabla\cdot\boldsymbol{i}(r’)=0\)を考えると、\(0\) にいく。計算略。
第二項
\(-\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\)\(=-\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\nabla^2 \displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} d^3 r’\)
\(=\mu_{0}\displaystyle\int\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’}) d^3 r’\)\(=\mu_{0}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r})\)
※変形において以下の式を使った。
\(\nabla^2 \displaystyle\frac{1}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}=-\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})\)
\(\displaystyle\int\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r’}) d^3 r’=\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r})\)
まとめ
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\)\(\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}))\)\(-\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\)\(=\mu_{0}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r})\)
時間変化がある場合
拡張の矛盾
上で得られた式を時間拡張してみる。
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r} , t)=\mu_{0}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r} , t)\) を考える。
両辺の発散を取ると、\(0=\mu_{0}\nabla\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r} , t)\) となるが
これは、\(\displaystyle\frac{\partial \rho(\boldsymbol{r} , t)}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r} , t)=0\) という電荷保存則の式に矛盾する。 つまり、そのまま拡張することはできない。
拡張
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}=\mu_{0}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{G}\) と仮定し、両辺の発散を取ると
\(0=\mu_{0}\nabla\cdot\boldsymbol{i}+\nabla\cdot\boldsymbol{G}\)
電荷保存則の式を利用すると、以下のように変形可。
\(=-\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial \rho(\boldsymbol{r} , t)}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{G}\)
\(=-\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \nabla\cdot\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)+\nabla\cdot\boldsymbol{G}\) （\(\cdots\) \(\epsilon_{0}\mathrm{div}\boldsymbol{E}=\rho\)より）
\(=\nabla\cdot\biggl(-\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)+\boldsymbol{G}\biggr)\)
よって、\(\boldsymbol{G}=\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\) などが候補として考えられる。※この時、正しい結果を与えることが分かっている。
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r} , t)=\mu_{0}\boldsymbol{i}+\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\)
が時間拡張した式となる。
