[mathjax]
Maxwell方程式④
時間変化がない場合
ビオサバールの法則より
\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|^3}d^3 r^{\prime}\)
\(=-\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{ (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|^3}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})d^3 r^{\prime}\)
\(=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\nabla\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|}\times\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})d^3 r^{\prime}\) \(\cdots\) \(\nabla\displaystyle\frac{1}{r}=-\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\)
\(=\nabla\times\biggl[\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|}d^3 r^{\prime}\biggr]\)
\(=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\)
よって
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}))-\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=-\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\)
\(=-\displaystyle\frac{\mu_{0}}{4\pi}\nabla^2 \displaystyle\int\displaystyle\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|} d^3 r^{\prime}=\mu_{0}\displaystyle\int\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}})\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r^{\prime}}) d^3 r^{\prime}\)\(=\mu_{0}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r})\)
\(\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}))\)は第一項は定常電流の保存則\(\nabla\cdot\boldsymbol{i}(r^{\prime})=0\)を考えると\(0\) になる。
\(\nabla^2 \displaystyle\frac{1}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}}|}=-\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime}})\)という変形式を使った。
まとめ
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\mu_{0}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r})\)
時間変化がある場合
拡張の矛盾
上で得られた式を時間拡張してみる。\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r} , t)=\mu_{0}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r} , t)\)を考える。
両辺の発散を取ると、\(0=\mu_{0}\nabla\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r} , t)\) となるが、これは\(\displaystyle\frac{\partial \rho(\boldsymbol{r} , t)}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r} , t)=0\) という電荷保存則と矛盾するため、そのまま拡張することはできない。
拡張
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}=\mu_{0}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{G}\) と仮定し、両辺の発散を取ると
\(0=\mu_{0}\nabla\cdot\boldsymbol{i}+\nabla\cdot\boldsymbol{G}\)
\(=-\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial \rho(\boldsymbol{r} , t)}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{G}\) \(\cdots\) 電荷保存則の式を利用
\(=-\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \nabla\cdot\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)+\nabla\cdot\boldsymbol{G}\)
\(=\nabla\cdot\biggl(-\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)+\boldsymbol{G}\biggr)\)
\(\boldsymbol{G}=\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\) などが候補としてあり、この時正しい結果を与えることが分かっている。
まとめ
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r} , t)=\mu_{0}\boldsymbol{i}+\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)\)
が時間拡張した式となる。
