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電磁気学6 方程式数
方程式数
何の話かというとマクスウェル方程式においてスカラーの等式が2つ、ベクトルの等式が2つなので8成分ある。
一方、電場と磁場はそれぞれ3成分の計6成分しかない。
この矛盾はどのように解決されるのかという話です。
結論から言うと、ベクトルの等式からスカラーの等式がうまく初期条件を取ると導出できることが理由です。
マクスウェル方程式を書いておきます。
① \(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{ρ(\boldsymbol{r},t)}{ε_{0}}\)
② \(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\)
③ \(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0\)
④ \(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)= \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\)
※ ①③は1成分、②④は3成分の等式。
②の発散
\(0=\mathrm{div}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\boldsymbol{B}\)
つまり、\(\mathrm{div}\boldsymbol{B}\) の変化がないということがわかる。
初期に、\(\mathrm{div}\boldsymbol{B}=0\) が満たされていれば常に満たすことがわかる。
つまり、③が導かれる。
④の発散
\(0=\mathrm{div}\mathrm{rot}\boldsymbol{B}=\mu_{0}\nabla\cdot\boldsymbol{i}+\epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\boldsymbol{E}\)
\(=-\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t}+\epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\boldsymbol{E}\)
\(=\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_{0}\mathrm{div}\boldsymbol{E}-\rho)\)
\(\epsilon_{0}\mathrm{div}\boldsymbol{E}-\rho\)の変化がない。
初期状態で満たされていれば、常に満たし続けるので、①が導かれる。
まとめ
3成分の式の②と④から1成分の式の①と③が導かれる。つまり、実質的には6成分の式となって、電場と磁場それぞれ3成分で6成分となることと矛盾しないということが言えた。
