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目次
電磁気学9 静電場
マクスウェル方程式
物体中のマクスウェル方程式を書いておきます。
Ⅰ、\(\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A_{L}}\)
Ⅱ、\(\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A_{L}}}{\partial t}-\mathrm{grad}\phi_{L}\)
Ⅲ、\(\biggl(\Delta-\displaystyle\frac{1}{v^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\boldsymbol{A_{L}}=-\mu_{o}\boldsymbol{i}\)
Ⅳ、\(\biggl(\Delta-\displaystyle\frac{1}{v^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\phi_{L}=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)
Ⅴ、\(\mathrm{div}\boldsymbol{A_{L}}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi_{L}}{\partial t}=0\)
静電場では時間変化部分がなくなるので
① \(\boldsymbol{E}=-\mathrm{grad}\phi\)
② \(\Delta\phi=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)
③ \(\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)
④ \(\Delta\boldsymbol{A}=-\mu_{o}\boldsymbol{i}\)
⑤ \(\mathrm{div}\boldsymbol{A}=0\)
のように書ける。（見やすくするため、順番を入れ替えた。）
静電場を表す式は上の①と②、静磁場を表す式は③～⑤のように完全に分離している。
静電場問題
上の二式を利用して静磁場を計算していきます。
今回やるのは、電荷分布\(\rho\)が与えられたときに静磁場を求めるというものです。
①によると\(\phi\)さえ求めれば、静磁場は計算できるので、②の式から\(\phi\)を計算していく。
特解
\(\Delta\phi_{L}=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)の解\(\phi\)を求めていく。というわけです。
突然ですが、\(\phi(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} G(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’\) は上の方程式の解となっている。
※ \(G(\boldsymbol{x})\)は\(\Delta G(\boldsymbol{x})=-\delta^3(\boldsymbol{x})\)というもの。
解であることの確認
\(\Delta\phi(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\Delta G(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’\) （上の解を代入。）
\(=-\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’\) （\(G(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\)部分を変形）
\(=-\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\epsilon}\) （デルタ関数の性質。）
\(G(\boldsymbol{x})\)
\(\phi\)を求めるためにまずは、\(G(\boldsymbol{x})\)を求める。
フーリエ変換
まずは\(\Delta G(\boldsymbol{x})=-\delta^3(\boldsymbol{x}) \cdots\) ① をフーリエ変換する。
それぞれのフーリエ変換は
\(G(\boldsymbol{x})=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}G(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k\)
\(\delta^3 (\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k\)
というふうに書ける。
これらを①に代入。
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\Delta G(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k=-\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k\)
変形すると
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(i\boldsymbol{k})^2 G(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k=-\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3 k\)
係数比較により、\(-\boldsymbol{k}^2 G(\boldsymbol{k})=-\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\)が得られる。つまり
\(G(\boldsymbol{k})=\displaystyle\frac{1}{\boldsymbol{k}^2 (2\pi)^3}\)となるのでこれをフーリエ変換した式に代入。
\(G(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{k}^2 }d^3 k\)
積分計算
極座標表示
極座標表示して積分計算をします。
\(G(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{k}^2 }d^3 k\)
\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{e^{ikx\cos\theta}}{k^2}\cdot k^2\sin\theta dk d\theta d\psi\)
\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\psi\displaystyle\int_{0}^{\infty} dk \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{ikx\cos\theta}\sin\theta d\theta\)
\(\psi\)
\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\psi=2\pi\)。
\(\theta\)
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{ikx\cos\theta}\sin\theta d\theta\)
\(=\displaystyle\int_{1}^{-1} e^{ikxs}(-ds)\) （\(s=\cos\theta\)）
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1} e^{ikxs} ds=\biggl[\displaystyle\frac{e^{ikxs}}{ikx}\biggr]_{-1}^{1}=\displaystyle\frac{1}{ikx}(e^{ikx}-e^{-ikx})\)\(=\displaystyle\frac{2\sin kx}{kx}\)
※ \(e^{ikx}-e^{-ikx}=(\cos kx+i\sin kx)-(\cos kx-i\sin kx)=2i\sin kx\)
元の積分
まとめると、以下のようになる。
\(G(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{2\sin kx}{kx}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi^2 x}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\sin y}{y}dy\) （\(y=kx\)とした）
\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi^2 x}\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\) （ディリクレ積分）
\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi |\boldsymbol{x}|}\)
\(\phi\)
よって\(G(\boldsymbol{x})\)が求まったので、\(\phi\)が計算できる。
\(\phi(\boldsymbol{x})\)\(=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} G(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’})\rho(\boldsymbol{x’})d^3 x’=\)\(\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x’})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x’}|}d^3 x’\)
