静電場の多重極展開

電磁気学
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静電場の多重極展開

 

 

静電場の静電ポテンシャル 

\(\phi(\boldsymbol{x})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x^{\prime}})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x^{\prime}}|}d^3 x^{\prime}\)

という式について考える。

電荷分布が原点に対して球対称なら計算できるが、そうでなければ計算できないので、この時、「多重極展開」という近似を用いる。

 

多重極展開

\(r\)で観測。※電荷分布は球内に収まっている。

 

\(\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x^{\prime}}|}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{r^2+{x^{\prime}}^2-2rx^{\prime}\cos\theta}}\)    \(\cdots\)  余弦定理

\(=\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\biggl(\displaystyle\frac{x^{\prime}}{r}\biggr)^2-2\biggl(\displaystyle\frac{x^{\prime}}{r}\biggr)\cos\theta}}\) 

\(=\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{x^{\prime}}{r}\biggr)^l P_{l}(\cos\theta)\)  \(\cdots\)   ルジャンドル多項式使用

 

ルジャンドル多項式

\(P_{l}(x)=\displaystyle\frac{1}{2^l l!}\displaystyle\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\)

ルジャンドル多項式
 ルジャンドル多項式 定義\(\displaystyle\frac{d}{dx}\left+\lambda(\lambda+1)f(x)=0\)の解\(P_{n}(x)\)をルジャンドル多項式という。 一般形\(P_{n}...

 

静電ポテンシャル

上の変形を\(\phi\)の式に代入する。つまり、静電ポテンシャルは次のように書ける。

 

\(\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x^{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x^{\prime}}|}d^3 x^{\prime}\)\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{x^{\prime}})}{r}\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{x^{\prime}}{r}\biggr)^l P_{l}(\cos\theta)d^3 x^{\prime}\)

このように近似している。 以下、初めの数項を調べる。

 

\(l=0\)の項

\(\phi_{0}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon r}\displaystyle\int_{V}\rho(\boldsymbol{x^{\prime}})d^3 x^{\prime} \)\(=\displaystyle\frac{q}{4\pi\epsilon r}\)

 

※\(q\)は全電荷量。

 これは、原点に電荷がある時の静電ポテンシャルとなっている。

 

\(l=1\)の項

\(\phi_{1}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon r^2}\displaystyle\int_{V} x^{\prime} \rho(\boldsymbol{x^{\prime}})\cos\theta d^3 x^{\prime} \)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon r^3}\displaystyle\int_{V} r x^{\prime} \cos\theta\rho(\boldsymbol{x^{\prime}})d^3 x’ \)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon r^3}\displaystyle\int_{V} (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{x^{\prime}})\rho(\boldsymbol{x^{\prime}})d^3 x^{\prime} \)

 

\(=\displaystyle\frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}{4\pi\epsilon r^3}\)

 

※ここで、\(\boldsymbol{p}=\displaystyle\int_{V}\boldsymbol{x^{\prime}}\rho(\boldsymbol{x^{\prime}})d^3 x^{\prime}\) という量で電気双極子モーメントと呼ばれる。

 

 

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