ベッセルの微分方程式

物理数学
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ベッセルの微分方程式

 

定義

\(\displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}+\displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\frac{dy}{dx}+\left(1-\displaystyle\frac{a^2}{x^2}\right)y=0\)

の解\(J_{\nu}(z)\)をベッセル関数という。

 

 

一般形

ベッセル関数は

\(J_{\nu}(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(\nu+n+1)}\left(\displaystyle\frac{z}{2}\right)^{\nu+2n}\)

と書ける。微分方程式の解は  \(y=C_{1}J_{\nu}(z)+C_{2}J_{-\nu}(z)\)

 

ただし、\(\nu\)が整数のときは独立でなくなり、 \(y=C_{1}J_{\nu}(z)+C_{2}N_{\nu}(z)\)

\(N_{\nu}(z)\)はノイマン関数といい

\(N_{\nu}=\displaystyle\frac{J_{\nu}(z)\cos\pi\nu-J_{-\nu}(z)}{\sin \pi\nu}\)

 

母関数

\(\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_{n}(z) t^n=e^{\frac{z}{2}(t-\frac{1}{t})}\)

 

性質

積分表示  \(J_{\nu}(z)=\displaystyle\frac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} d\theta e^{iz\sin\theta-i\nu\theta}\)

 

\(\nu\)が整数の時、 \(J_{-\nu}(z)=(-1)^{\nu}J_{\nu}(z)\)

 

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