角運動量 交換関係

量子力学
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角運動量交換関係

先に有名なものをまとめて書く。

 

$[\hat{L}_{x},\hat{L}_{y}]=i\hbar \hat{L}_{z}$、$[\hat{L}_{y},\hat{L}_{z}]=i\hbar \hat{L}_{x}$、$[\hat{L}_{z},\hat{L}_{x}]=i\hbar \hat{L}_{y}$

 

$[\hat{L}^2,\hat{L}_{z}]=0$

なお、$\hat{L}=\hbar\hat{l}$として、$\hat{l}$について交換関係を書いていることもある。割とあいまいな所もある気がしますが。。

 

計算1

 

$\hat{L_{x}}=[\hat{\boldsymbol{r}}\times \hat{\boldsymbol{p}}]_{x}=-i\hbar\left(y\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}-z\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)$

 

※$\hat{p}=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}$を成分ごとに分けて用い、外積をそのまま計算しただけです。

同様に

$\hat{L_{y}}=-i\hbar\left(z\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}-x\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)$

なので交換関係は

$[\hat{L}_{x},\hat{L}_{y}]=-\hbar^2\left[\left(y\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}-z\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\left(z\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}-x\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)-\left(z\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}-x\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)\left(y\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}-z\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$

 

$=-\hbar^2\left[yz\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x\partial z}+y\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}-z^2\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}-xy\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial z^2}+xz\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial y\partial z}\right]$

$-\hbar^2\left[-yz\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x\partial z}+xy\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial z^2}+z^2\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}-x\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}-xz\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial y\partial z}\right]$

 

$=\hbar^2\left(x\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}-y\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\right)$

$=i\hbar \hat{L}_{z}$

 

展開したときに、$\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\left(z\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\right)=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+z\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x\partial z}$

などのようになることに注意する!

また、$[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x}$、$[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}$についても同様に示すことが出来る。

 

計算2

$[\hat{L}^2,\hat{L}_{z}]=0$を示す。

 

$[\hat{L}^2,\hat{L}_{z}]=[\hat{L}_{x}^2+\hat{L}_{y}^2+\hat{L}_{z}^2,\hat{L}_{z}]$

 

$=[\hat{L}_{x}^2 ,\hat{L}_{z}]+[\hat{L}_{y}^2 ,\hat{L}_{z}]$

 

$=2\hat{L}_{x}[\hat{L}_{x},\hat{L}_{z}]+2\hat{L}_{y}[\hat{L}_{y},\hat{L}_{z}]$

 

$=2\hat{L}_{x}(-i\hbar\hat{L}_{y})+2\hat{L}_{y}(i\hbar\hat{L}_{x})=0$

 

 

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