コンプトン散乱

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目次

コンプトン散乱

コンプトン散乱とは

光子の粒子性を示す実験。散乱によって光の波長が伸びる。

 

計算

光子が電子にぶつかって散乱する状況を考える。光子を粒子とみなして計算する。

・入射する光の振動数 \(\nu\)

・散乱後の光の振動数 \(\mu^{\prime}\)

・電子の質量 \(m\)

・散乱後の電子の運動量  \(p^{\prime}\)

・光子の散乱角 \(\theta\)\

・電子の散乱角 \(\phi\)

 

①エネルギー保存の式

\(h\nu+mc^2=\sqrt{(p^{\prime}c)^2+(mc^2)^2}+h\nu^{\prime}\) 

②運動量保存の式(進行方向)

\(\displaystyle\frac{h\nu}{c}=\displaystyle\frac{h\nu^{\prime}}{c}\cos\theta+p^{\prime}\cos\phi\)   

③運動量保存の式(垂直方向)

\(0=\displaystyle\frac{h\nu^{\prime}}{c}\sin\theta-p^{\prime}\sin\phi\) 

 

②と③から\(\phi\)を消去すると

\(h^2\nu^2+h^2\nu{^{\prime}}^2-2h^2\nu\nu^{\prime}\cos\theta=p{^{\prime}}^2c^2\)    \(\cdots\) ④

①を変形すると

\(p{^{\prime}}^2c^2=(h(\nu-\nu^{\prime})+mc^2)^2-m^2c^4=h^2(\nu-\nu^{\prime})^2+2mhc^2(\nu-\nu^{\prime})\)   \(\cdots\) ⑤

④⑤から\(p{^{\prime}}^2c^2\)を消去すると

\(-2h^2\nu\nu^{\prime}\cos\theta=-2h^2\nu\nu^{\prime}+2mhc^2(\nu-\nu^{\prime})\)

・\(\nu^{\prime}\)について解いて変形すると

$$h\nu^{\prime}=\displaystyle\frac{h\nu}{1+\displaystyle\frac{h\nu}{mc^2}(1-\cos\theta)}$$

・\(c=h\nu\)を使って波長の関係式に書き直すと

$$\lambda^{\prime}=\lambda+\displaystyle\frac{h}{mc}(1-\cos\theta)$$

入射した光より散乱した光の方が波長が長くなる。

 

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