[mathjax]
問題
\(U(x)=0\) \(|x|\leq a\)
\(U(x)=\infty\) \(|x|\geq a\)
というときにシュレディンガー方程式を解く。
ポテンシャルのグラフが井戸のようになっているから井戸型ポテンシャルと呼んでいる。
解答
一次元のシュレディンガー方程式は
\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)\biggr]\psi(x)=E\psi(x)\)
\(|x|> a\)
井戸の外（\(|x|\geq a\)）では \(U(x)=\infty\) なので式を満たすには \(\psi(x)=0\)にならざるを得ない。（ポテンシャルが無限大で入れないから（存在確率0）ともいえる。）
\(|x|< a\)
\(U(x)=0\)をシュレディンガー方程式に代入すると
\(-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}=E\psi(x)\)
\(\displaystyle\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}=-\displaystyle\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)\)
\(k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)とおくと
\(\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx\) となる。
※係数は接続条件、規格化条件から決める。
境界条件
\(\psi(a)=0\) 及び \(\psi(-a)=0\)
\(A\sin ka+B\cos ka=0\) かつ\(-A\sin ka+B\cos ka=0\)
これを満たすには、\(A\sin ka=0\) かつ \(B\cos ka=0\) である。
解の候補
① \(A=B=0\) …… 意味をなさない。
② \(A=0\)、\(\cos ka=0\) …… 解
③ \(B=0\)、\(\sin ka=0\) …… 解
④ \(\cos ka=0\)、\(\sin ka=0\) …… 存在しない
②のとき \(ka=\biggl(n+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)\pi\) である。 \(\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx\) に代入して
\(\psi(x)=B\cos \displaystyle\frac{(2n+1)\pi}{2a} x\)
この時、\(E=\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\displaystyle\frac{\hbar^2 \pi^2}{8ma^2}(2n+1)^2\)
・エネルギーはとびとびの値を取っていて、最低状態でも0にならない。
③のとき \(ka=n\pi\) である。\(\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx\) に代入して
\(\psi(x)=A\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{2a} x\)
この時、\(E=\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\displaystyle\frac{\hbar^2 \pi^2}{8ma^2}(2n)^2\)
規格化条件
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)^2 dx=1\) を課すと
\(1=\displaystyle\int_{-a}^{a} (B\cos \displaystyle\frac{(2n+1)\pi}{2a} x)^2 dx=\displaystyle\int_{-a}^{a} (A\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{2a} x)^2 dx\)
ここはただ計算するだけなので省略する。結果は
\(A=B=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}}\) である。
結果
\(|x|\leq a\)のとき
\(\psi(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}}\cos\displaystyle\frac{n\pi x}{2a}\) \(n\)は奇数。
\(\psi(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}}\sin\displaystyle\frac{n\pi x}{2a}\) \(n\)は偶数。
\(|x|\geq a\)のとき
\(\psi(x)=0\)
