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調和振動子
調和振動子のハミルトニアンは次のように書ける。生成消滅演算子というものを用いて、この固有値を求める。
\(H=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\)
消滅演算子、生成演算子を以下のように定義する。
\(\begin{cases} \hat{a}=\sqrt{\displaystyle\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x}+\displaystyle\frac{i}{m\omega}\hat{p}\right) \\ \hat{a}^{\dagger}=\sqrt{\displaystyle\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x}-\displaystyle\frac{i}{m\omega}\hat{p}\right)\end{cases}\)
すると
\(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}=\displaystyle\frac{m\omega}{2\hbar}\left(\hat{x}-\displaystyle\frac{i}{m\omega}\hat{p}\right)\left(\hat{x}+\displaystyle\frac{i}{m\omega}\hat{p}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{m\omega}{2\hbar}\left(\hat{x}^2+\displaystyle\frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2}+\displaystyle\frac{i}{m\omega}[\hat{x},\hat{p}]\right)\)
\(=\displaystyle\frac{m\omega}{2\hbar}\left(\hat{x}^2+\displaystyle\frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}\)
これを変形すると、次のようになる。
\(\hat{H}=\hbar\omega\left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
数演算子を\(\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\)と書き、\(\hat{N}|n\rangle=n|n\rangle\)とおく。\(\hat{H}|n\rangle=E|n\rangle\)なので
\(E=\hbar\omega\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
というように調和振動子のエネルギーを求められる。
生成消滅演算子、数演算子について
数演算子は、\(\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\)と書き、\(\hat{N}|n\rangle=n|n\rangle\)とする。
\([\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]=1\)である。
消滅演算子
\(\hat{N}\hat{a}|n\rangle=(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\hat{a}|n\rangle=(n-1)\hat{a}|n\rangle\)
\(\hat{a}\)は固有値を1下げる演算子。
\(\hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1 \rangle\)
生成演算子
\(\hat{N}\hat{a}^{\dagger}|n\rangle=\hat{a}^{\dagger}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)|n\rangle=(n+1)\hat{a}^{\dagger}|n\rangle\)
\(\hat{a}\)は固有値を1上げる演算子。
\(\hat{a}^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1 \rangle\)
