スピン1/2の合成 

量子力学
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スピン1/2の合成

状態を$|S,M\rangle $と書く。

スピン3重項

$|1,1\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle $

$|1,0\rangle = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle +|\downarrow\uparrow\rangle )$

$|1,-1 \rangle  = |\downarrow\downarrow\rangle $

スピン1重項

$|0,0\rangle  = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle -|\downarrow\uparrow\rangle )$

導出

$|1,0\rangle $の導出

$|1,1\rangle $に$S_{-}$を演算させる。

$S_{-}|1,1\rangle = S_{-}|\uparrow\uparrow\rangle$

変形すると

$\sqrt{(1+1)(1-1+1)}|1,0\rangle = |\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle$

整理すると

$|1,0\rangle = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle +|\downarrow\uparrow\rangle )$

$|0,0 \rangle$の導出

$|0,0\rangle$は$|1,0\rangle$と直交するようにとる。

$|1,-1\rangle $の導出

$S_{-}|1,0\rangle = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}S_{-}\left(|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle\right)$

$\sqrt{(1+0)(1-0+1)}|1,-1\rangle =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\downarrow\downarrow\rangle+|\downarrow\downarrow\rangle\right)$

整理すると

$|1,-1 \rangle  = |\downarrow\downarrow\rangle $

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