デルタ関数型ポテンシャル

量子力学
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デルタ関数型ポテンシャル

ポテンシャルが以下のようなものを考える。

\(V(x)=V_{0}\delta(x)\)  ※ただし\(V_{0}>0\)とする。

 

解答

波動関数

シュレディンガー方程式は、\(V(x)=V_{0}\delta(x)\)なので以下のようになる。

\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}+V_{0}\delta(x)\biggr]\psi(x)=E\psi(x)\)

 

\(x>0\)、\(x<0\)のそれぞれでの波動関数は 

\(\psi_{-}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\) \(\cdots\) (\(x<0\))

\(\psi_{+}(x)=Ce^{ikx}\) \(\cdots\) (\(x>0\))

※\(k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)

 

接続条件

\(x=0\)での接続条件を考えていく。

\(\psi(x)\)の接続から \(A+B=C\)

\(\psi'(x)\)の接続を考えていく。まず、シュレディンガー方程式を\([-\varepsilon,\varepsilon]\)で積分。

 

\(-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\biggl[\displaystyle\frac{d\psi}{dx}\biggr]_{-\varepsilon}^{\varepsilon}+V_{0}\psi(0)=E\displaystyle\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\psi(x) dx\)

 

\(\varepsilon\to 0\)にすると

\(\psi_{+}’ (0)-\psi_{-}’ (0)=\displaystyle\frac{2mV_{0}}{\hbar^2}\psi(0)\)

具体的に代入して整理すると

\(ik(A-B)=\biggl(ik-\displaystyle\frac{2mV_{0}}{\hbar^2}\biggr)C\)

 

反射率、透過率

上の二式から反射率、透過率が計算できる。

反射率は

\(R=\biggl|\displaystyle\frac{B}{A}\biggr|^2=\biggl[1+\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{m^2 V_{0}^2}\biggr]^{-1}\)

 

透過率は

\(T=\biggl|\displaystyle\frac{C}{A}\biggr|^2=\biggl[1+\displaystyle\frac{m^2 V_{0}^2}{\hbar^2 k^2}\biggr]^{-1}\)

 

※\(R+T=1\)となっている。

※\(E\to \infty\)で、\(k\to \infty\)となり、\(R\to 0\)、\(T\to 1\)となる。(完全透過)

 

 

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