無限の井戸型ポテンシャル 

 

目次

問題

$$\begin{cases} U(x)=0 & |x|\leq a \\ U(x)=\infty & |x|\geq a \end{cases}$$

というときにシュレディンガー方程式を解く。

解答

一次元のシュレディンガー方程式は\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)\biggr]\psi(x)=E\psi(x)\)

\(|x|> a\)

\(|x|\geq a\)では \(U(x)=\infty\) なので式を満たすには \(\psi(x)=0\)にならざるを得ない。(ポテンシャルが無限大で入れず、存在確率$0$)

 

\(|x|< a\)

\(U(x)=0\)をシュレディンガー方程式に代入すると

$$-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}=E\psi(x)$$

$$\displaystyle\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}=-\displaystyle\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)$$

\(\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx\) \(\left(k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\right)\)

※係数は接続条件、規格化条件から決める。

境界条件

\(\psi(a)=0\) 及び \(\psi(-a)=0\)

\(A\sin ka+B\cos ka=0\) かつ\(-A\sin ka+B\cos ka=0\)

これを満たすには、\(A\sin ka=0\) かつ \(B\cos ka=0\) である。

解の候補

① \(A=B=0\) …… 意味をなさない。

② \(A=0\)、\(\cos ka=0\) …… 解

③ \(B=0\)、\(\sin ka=0\) …… 解

 \(\cos ka=0\)、\(\sin ka=0\) …… 存在しない

 

②のとき  

\(ka=\biggl(n+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)\pi\) である。 \(\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx\) に代入して

\(\psi(x)=B\cos \displaystyle\frac{(2n+1)\pi}{2a} x\)

\(E=\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\displaystyle\frac{\hbar^2 \pi^2}{8ma^2}(2n+1)^2\)  

・エネルギーはとびとびの値を取っていて、最低状態でも0にならない。

③のとき

\(ka=n\pi\) である。\(\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx\) に代入して

\(\psi(x)=A\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{2a} x\)

\(E=\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\displaystyle\frac{\hbar^2 \pi^2}{8ma^2}(2n)^2\)

規格化条件

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)^2 dx=1\) を課すと

\(1=\displaystyle\int_{-a}^{a} \left(B\cos \displaystyle\frac{(2n+1)\pi}{2a} x\right)^2 dx=\displaystyle\int_{-a}^{a} \left(A\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{2a} x \right)^2 dx\)

\(A=B=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}}\) 

結果

\(|x|\leqq a\)のとき

\(\psi(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}}\cos\displaystyle\frac{n\pi x}{2a}\) \(n\)は奇数。

\(\psi(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}}\sin\displaystyle\frac{n\pi x}{2a}\) \(n\)は偶数。

\(|x|\geqq a\)のとき

\(\psi(x)=0\)

 

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