シュレディンガー方程式

 

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シュレディンガー方程式

方程式

\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}\)

\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{d x^2}+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}\) (一次元)

\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=E\psi(\boldsymbol{r})\) (時間依存しない)

導出

ド・ブロイの関係式から考える。

\(E=\hbar\omega\)、\(p=\hbar k\)  ※\(\hbar=\displaystyle\frac{h}{2\pi}\)

すると波動関数は \(\psi=e^{i(kx-\omega t)}=e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}\) と書ける。ここで

\(\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\displaystyle\frac{p^2}{\hbar^2}\psi , \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\displaystyle\frac{iE}{\hbar}\psi\)

これらを使って古典的な場合のエネルギー等式 \(E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}\)を応用すると以下の等式が得られる。

\(-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}\)

ポテンシャルがある場合に応用し、三次元化すると\(E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+V(x)\)から以下のようになる。

$$\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}$$

微分演算子

シュレディンガー方程式を古典的なエネルギー等式と見比べると以下の関係が分かる。

\(E\longrightarrow i\hbar \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\)、\(\boldsymbol{p}\longrightarrow -i\hbar \nabla\)

波動関数に作用する微分演算子として考えることが出来る。

 

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