シュレディンガー方程式

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シュレディンガー方程式

電子等の粒子は今まで粒子だと信じられていたが、波としての性質も持つことが明らかになった。この波をド・ブロイ波という。

その波動を表す方程式がシュレディンガー方程式。

 

シュレディンガー方程式

導出の前にシュレディンガー方程式を書いてみます。

 

\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}\)

 

※形はこれだけではないです。

一次元の場合 …… \(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{d x^2}+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}\)

 

時間に依存しない場合 …… \(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi=E\psi\)

 

ハミルトニアンを使う …… \(H\psi=E\psi\)

※ハミルトニアンは \(H=-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\)

 

導出

導出は数学的、数式上になるが、実際シュレディンガー方程式は実験事実に合っている。

ド・ブロイの関係式から考える。

\(E=\hbar\omega\)、\(p=\hbar k\)  ※\(\hbar=\displaystyle\frac{h}{2\pi}\)

 

すると波動関数は \(\psi=e^{i(kx-\omega t)}=e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}\) と書ける。

 

ここで、

\(\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\displaystyle\frac{p^2}{\hbar^2}\psi\)

\(\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\displaystyle\frac{iE}{\hbar}\psi\)

 

これらを使って古典的な場合のエネルギー等式 \(E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}\)を応用すると以下の等式が得られる。

\(-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}\)

 

ポテンシャルがある場合に応用すると\(E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+V(x)\)から以下のようになる(三次元化した)。これがシュレディンガー方程式。

 

\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}\)

 

 

微分演算子

シュレディンガー方程式を古典的なエネルギー等式と見比べると以下の関係が分かる。

\(E\longrightarrow i\hbar \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\)、\(\boldsymbol{p}\longrightarrow i\hbar \nabla\)

波動関数に作用する微分演算子として考えることが出来る。

 

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