階段型ポテンシャル

量子力学
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階段型ポテンシャル

以下のようなポテンシャルのもとでシュレディンガー方程式を解く。

\(V(x)=\begin{cases} 0 &  x<0  \\ \\V_{0}   &  x>0 \end{cases}\)

 

 

\(E>V_{0}\)のとき

各領域での波動関数

シュレディンガー方程式は

\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\biggr]\psi(x)=E\psi(x)\)

 

\(x<0\)のとき

\(V(x)=0\) より \(\displaystyle\frac{d^2 \psi}{dx^2}=-\displaystyle\frac{2mE}{\hbar^2}\psi\) で、これを解くと

 

\(\psi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\)   ※\(k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)

 

\(0<x\)のとき

\(V(x)=V_{0}\)なので上と同様にして解くと

 

\(\psi=Ce^{is x}\)   ※\(s=\displaystyle\frac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar}\)

 

接続条件

ここで\(x=0\)での接続条件を課す。(波動関数とその一階微分が連続)

\(x=0\)での条件

\(A+B=C\)

\(ik(A-B)=isC\)

 

これを解くと

\(\displaystyle\frac{B}{A}=\displaystyle\frac{k-s}{k+s}\)、\(\displaystyle\frac{C}{A}=\displaystyle\frac{2k}{k+s}\)

 

確率流密度

\(x<0\)での確率流密度は

\(j_{1}=\displaystyle\frac{\hbar}{2mi}(\psi_{1}^{\star}\nabla\psi_{1}-\nabla(\psi_{1}^{\star})\psi_{1})=\displaystyle\frac{\hbar k}{m}(|A|^2-|B|^2)\)

 

\(x>0\)での確率流密度は

\(j_{2}=\displaystyle\frac{\hbar}{2mi}(\psi_{2}^{\star}\nabla\psi_{2}-\nabla(\psi_{2}^{\star})\psi_{2})=\displaystyle\frac{\hbar s}{m}|C|^2\)

 

結果

よって反射率\(R\)は

\(R=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|B|^2}{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|A|^2}=\biggl|\displaystyle\frac{B}{A}\biggr|^2=\biggl(\displaystyle\frac{k-s}{k+s}\biggr)^2\)

 

透過率\(T\)は

\(T=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\hbar s}{m}|C|^2}{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|A|^2}=\displaystyle\frac{s}{k}\biggl|\displaystyle\frac{C}{A}\biggr|^2=\displaystyle\frac{4ks}{(k+s)^2}\)

 

※\(R+T=1\)となっている。

※反射率、透過率は確率流の比で表される。

 

\(0<E<V_{0}\)のとき

各領域での波動関数

上同様にして解くと

\(0<x\)のとき \(V(x)=0\)なので

\(\psi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\)   ※\(k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)

 

\(0<x\)のとき \(V(x)=V_{0}\)なので

\(\psi=Ce^{-t x}\)   ※\(s=\displaystyle\frac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}\)

 

接続条件

ここで\(x=0\)での接続条件を課す。(波動関数とその一階微分が連続)

\(x=0\)での条件

\(A+B=C\)

\(ik(A-B)=-tC\)

 

これを解くと

\(\displaystyle\frac{B}{A}=\displaystyle\frac{k-it}{k+it}\)、\(\displaystyle\frac{C}{A}=\displaystyle\frac{2k}{k+it}\)

 

確率流密度

\(x<0\)での確率流密度は

\(j_{1}=\displaystyle\frac{\hbar}{2mi}(\psi_{1}^{\star}\nabla\psi_{1}-\nabla(\psi_{1}^{\star})\psi_{1})=\displaystyle\frac{\hbar k}{m}(|A|^2-|B|^2)\)

 

\(x>0\)での確率流密度は

\(j_{2}=\displaystyle\frac{\hbar}{2mi}(\psi_{2}^{\star}\nabla\psi_{2}-\nabla(\psi_{2}^{\star})\psi_{2})=0\)

 

結果

よって反射率\(R\)は

\(R=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|B|^2}{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|A|^2}=\biggl|\displaystyle\frac{B}{A}\biggr|^2=\biggl|\displaystyle\frac{k-it}{k+it}\biggr|^2=1\)

 

透過率\(T\)は

\(T=0\)

※よって、\(R+T=1\)となっている。

 

 

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