ローレンツ変換

相対性理論
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ローレンツ変換

2つの慣性系を結ぶ線形変換。ミンコフスキー空間の距離を一定に保つ変換。

 

証明

特殊相対論の原理は、「相対性原理」と「光速度不変原理」だが、これらの条件はダランべルシアンが座標変換に対して不変であることと同じ。この座標変換のことをローレンツ変換という。

※ちなみに、ダランべルシアンはガリレイ変換に対して不変ではない。

このような変換を考えていくが、\(x\)方向だけの変換を考える。次のような線形変換を考える。
※\(x^{\prime}\)は\(x\)方向に\(v\)で動いてると考えてこう書いた。

\(x^{\prime} = a(x-vt)\)
\(t^{\prime} = dx+et\)

 

ここから

\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}+\displaystyle\frac{\partial t^{\prime}}{\partial x^{\prime}}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}=a\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}+d\displaystyle\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}\)


\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} = \displaystyle\frac{\partial x^{\prime}}{\partial t}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}+\displaystyle\frac{\partial t^{\prime}}{\partial t}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}=-av\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}+e\displaystyle\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}\)

 

今、x方向のみ考えたダランべルシアンは

\(□_{x}=\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\)

\(=\left(a\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}+d\displaystyle\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{c^2}\left(-av\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}+e\displaystyle\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}\right)^2\)

 

\(=a^2\left(1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}\right)\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial {x^{\prime}}^2}\)\(+2a\left(d+\displaystyle\frac{v e}{c^2}\right)\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^{\prime}\partial t^{\prime}}\) \(+\left(d^2-\displaystyle\frac{e^2}{c^2}\right)\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial {t^{\prime}}^2}\)


これがダランべルシアンの形になっているためには次の式が成立していればよい。

\(a^2\biggl(1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}\biggr) = 1\)

\(a\biggl(d+\displaystyle\frac{ve}{c^2}\biggr) = 0\)

\(\biggl(d^2-\displaystyle\frac{e^2}{c^2}\biggr) = -\displaystyle\frac{1}{c^2}\)

これを解くと

\(a=e=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}\)

\(d=-\displaystyle\frac{ve}{c^2}\)

 

これらの結果を\(x^{\prime}\)、\(t^{\prime}\)に代入すると
\(x^{\prime}=\displaystyle\frac{x-vt}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}\)


\(t^{\prime}=\displaystyle\frac{t-\displaystyle\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}\)


これをローレンツ変換と呼ぶ。\(|v|<|c|\) の時、ガリレイ変換と一致する。行列形式で書くと以下のようになる。


\(\left(\begin{array}{c} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array} \right) =\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\displaystyle\frac{\gamma v}{c^2} & 0 & 0 \\ -\gamma v & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} t \\ x  \\ y  \\ z  \end{array} \right) \)


※ただし、\(\gamma=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\)である。

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