状態密度

統計力学
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状態密度

状態密度とは、単位エネルギーあたりの状態数のこと。定義式を書くと

$D(\varepsilon)=\displaystyle\sum_{k} \delta(\varepsilon-\varepsilon_{k})$

 

三次元の自由電子

その1

 

運動量空間で点一個が占める体積は$\left(\displaystyle\frac{2\pi}{L}\right)^3$。

 

運動量空間での体積が$\displaystyle\frac{4}{3}\pi k^3$なので、状態数$N$は、

 

$N=2\times \displaystyle\frac{\frac{4}{3}\pi k^3}{\left(\frac{2\pi}{L}\right)^3}=\displaystyle\frac{V(2m\varepsilon)^{\frac{3}{2}}}{3\pi^2\hbar^3}$

 

と書ける。これを微分すると、状態密度になるので、

 

$D(\varepsilon)=\displaystyle\frac{V (2m)^{\frac{3}{2}}}{2\pi^2\hbar^3}\sqrt{\varepsilon}$

 

三次元では状態密度はエネルギーの$\displaystyle\frac{1}{2}$乗に比例する。

なお、二次元では状態密度はエネルギーの$0$乗に比例する。

また、一次元では状態密度はエネルギーの$-\displaystyle\frac{1}{2}$乗に比例する。

 

その2

$D(\varepsilon)=2\displaystyle\sum_{k} \delta(\varepsilon-\varepsilon_{k})$

 

$=2\left(\displaystyle\frac{L}{2\pi}\right)^3\displaystyle\int d^3 k \delta(\varepsilon-\varepsilon_{k})$

 

$=2\displaystyle\frac{V}{8\pi^3}\displaystyle\int_{0}^{\infty} 4\pi k^2 dk \delta(\varepsilon-\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{2m})$

 

$t=\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$とおくと、$k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mt}}{\hbar}$、$dt=\displaystyle\frac{\hbar^2 k}{m}dk$であるので

 

$D(\varepsilon)=\displaystyle\frac{V (2m)^{\frac{3}{2}}}{2\pi^2\hbar^3}\sqrt{\varepsilon}$

 

となり、先ほどの結果と一致している。

 

 

 

 

 

 

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