平均場近似

統計力学
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平均場近似

$S_{i}=m+\delta S_{i}$とする。ハミルトニアンは

 

$H=-J\displaystyle\sum_{\langle i,j\rangle} S_{i}S_{j}-H\displaystyle\sum_{i=1}^{N} S_{i}$

$=-J\displaystyle\sum_{\langle i,j\rangle} (m+\delta S_{i})(m+\delta S_{j})-H\displaystyle\sum_{i=1}^{N} S_{i} $

$=-J\displaystyle\sum_{\langle i,j\rangle} m^2-Jm\displaystyle\sum_{\langle i,j\rangle}(S_{i}+S_{j}-2m)-H\displaystyle\sum_{i=1}^{N} S_{i}$

$= -\displaystyle\frac{JqN}{2}m^2-Jmq\displaystyle\sum_{i} S_{i}+2Jm^2\displaystyle\frac{qN}{2}-H\displaystyle\sum_{i} S_{i}$

$= \displaystyle\frac{JqN}{2}m^2-(Jqm+H)\displaystyle\sum_{i} S_{i}$

※最近接格子点数を$q$、粒子数を$N$としている。

$Z_{1}=e^{-\beta\frac{Jqm^2 N}{2}}(e^{\beta(H+Jqm)}+e^{-\beta(H+Jqm)})$

 

磁荷を計算すると、以下の自己無撞着方程式が得られる。

$m=\displaystyle\frac{e^{\beta(H+Jqm)}-e^{-\beta(H+Jqm)}}{e^{\beta(H+Jqm)}+e^{-\beta(H+Jqm)}}=\tanh (\beta(H+Jqm))$

 

・$H=0$のとき


磁荷が生じる転移温度を調べる(冷やすと磁荷が生じる)。
グラフを書くと、自己無撞着方程式の右辺の関数の原点での傾きが$1$以上であれば磁荷が生じる。
転移温度は

$T_{c}=\displaystyle\frac{qJ}{k_{b}}$

 

$m=\tanh (\beta(H+Jqm))\simeq \beta Jqm-\displaystyle\frac{1}{3}(\beta Jqm)^3$

を変形すると

$m \propto \pm(T_{c}-T)^{\frac{1}{2}}$

 

・$H\neq 0$のとき

$m= \beta(H+Jqm) $より

$m= \displaystyle\frac{\beta H}{1-\beta Jq} $

$\chi = \displaystyle\frac{m}{H}\propto (T-T_{c})^{-1}$

 

 

 

 

 

 

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