単原子古典理想気体

統計力学
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単原子古典理想気体

 

・分配関数

$Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N} N!}\displaystyle\iint d\boldsymbol{p} d\boldsymbol{q} e^{-\beta\sum_{i=1}^{N}\frac{p_{xi}^2+p_{yi}^2+p_{zi}^2}{2m}}=\displaystyle\frac{V^N}{N!}\left(\displaystyle\frac{2\pi mk_{b} T}{h^2}\right)^{\frac{3N}{2}}$

・自由エネルギー

$F=-k_{b}T\log Z=-Nk_{b}T\left(\log\displaystyle\frac{V}{N}+\displaystyle\frac{3}{2}\log\displaystyle\frac{2\pi mk_{b}T}{h^2}+1\right)$

 

・エネルギー

$E=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial \beta}\log Z=\displaystyle\frac{3}{2}Nk_{b}T$

・圧力(状態方程式)

$P=-\displaystyle\frac{\partial F}{\partial V}=\displaystyle\frac{Nk_{b}T}{V}$

 

・エントロピー(サッカー・テトロードの方程式)

$S=Nk_{b}\left(\log\displaystyle\frac{V}{N}+\displaystyle\frac{3}{2}\log\displaystyle\frac{2\pi mk_{b}T}{h^2}+\displaystyle\frac{5}{2}\right)$

※断熱では$S=\mathrm{const}$なので、$VT^{\frac{3}{2}}=\mathrm{const}$が出てくる(ポアソン関係式)

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